已知Rt△ABC中,∠ACB=90º,BC=5,tan∠A= 3 4 .将△ABC绕点C逆时针旋转α(45°<
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/24 14:32:28
已知Rt△ABC中,∠ACB=90º,BC=5,tan∠A= 3 4 .将△ABC绕点C逆时针旋转α(45°<α<135°)得
已知Rt△ABC中,∠ACB=90º,BC=5,tan∠A= 3 4 .将△ABC绕点C逆时针旋转α(45°<α<135°)得到△DCE,设直线DE与直线AB相交于点P,连接CP.
(1)如图1,当CD⊥AB时,求证:PC平分∠EPA;
(2)如图2,当点P在边AB上时,求证:PE+PB=6;
(3)在△ABC旋转过程中,连接BE,当△BCE的面积为 25 4 3 时,求∠BPE的度数及PB的长.
已知Rt△ABC中,∠ACB=90º,BC=5,tan∠A= 3 4 .将△ABC绕点C逆时针旋转α(45°<α<135°)得到△DCE,设直线DE与直线AB相交于点P,连接CP.
(1)如图1,当CD⊥AB时,求证:PC平分∠EPA;
(2)如图2,当点P在边AB上时,求证:PE+PB=6;
(3)在△ABC旋转过程中,连接BE,当△BCE的面积为 25 4 3 时,求∠BPE的度数及PB的长.
考点:旋转的性质;三角形的面积;全等三角形的性质;全等三角形的判定;解直角三角形.
分析:(1)根据旋转前后三角形的面积不变作为相等关系得到CF=CN,从而判定CP平分∠EPA;
(2)作辅助线构造全等三角形,利用全等的性质和三角函数求解.在PA上截取PM=PE连接CM,过C作CK⊥PA得出,CM=CB=5,再利用三角函数求出BM=6,所以得到PM+PE=6;
(3)要注意有2种情况,△BEC为锐角三角形时和△BEC为钝角三角形时两种,不要漏掉.主要利用直角三角形的勾股定理作为等量关系解方程求线段的长度.
(1)过C点作CN⊥DE垂足为N,
∵△ABC≌△DEC,∴AB=DE.
∵S△ABC=1/2AB•CF=S△DCE=1/2DE•CN,
∵CF=CN,
∴CP平分∠EPA.
(2)如图2在PA上截取PM=PE连接CM,过C作CK⊥PA,
由(1)同理可证CP平分∠EPA,
∴∠EPC=∠APC.
∵PM=PB PC=PC,
∴△PMC≌△PEC,
∴CE=CM,PE=PM.
又∵CE=CB,∴CM=CB=5,
在△BCK中,cos∠B=BK/BC=1/2BM/5=BM/10,
在△ABC中,tan∠A=3/4=5/AC,
∴AC=20/3.
∵AB=根号【5^2+(20/3)^2】=25/3,
∴cos∠B=3/5=BM/10.
∴BM=6.
∵BM=PM+PB,
∴PM+PE=6.
(3)如图3,∵△BCE的面积为25/4根号3BC=CE=5,
∴BE=5∠CED=∠PBC∠ECB=60°,
∴∠BPE=60°.
过B点BH⊥PE,设BP=x,
∵PE+BP=6,∴PE=6-xPH=1/2xBH=根号3/2*x.
∵PE+BP=6,∴PE=6-xPH=1/2xBH=根号3/2*x.
∴5^2=(根号3/2x)^2+(6-x-1/2x)^2,x=3±4/3根号3.
∵3+4/3根号3>5,
∵∠BPC=120°∴BP<BC,
∴x=3+4/3根号3,
∴BP=3-4/3根号3.
如图4,当△BEC为钝角三角形时,同理可得BE=5根号3,PE-PB=6,
∵PE=6+x,∠BPE=60°,x=-3±4根号3
∵-3-4根号3<0,
∴x=4根号3-3.
∴BP=3-4/3根号3 或 4根号3-3.
分析:(1)根据旋转前后三角形的面积不变作为相等关系得到CF=CN,从而判定CP平分∠EPA;
(2)作辅助线构造全等三角形,利用全等的性质和三角函数求解.在PA上截取PM=PE连接CM,过C作CK⊥PA得出,CM=CB=5,再利用三角函数求出BM=6,所以得到PM+PE=6;
(3)要注意有2种情况,△BEC为锐角三角形时和△BEC为钝角三角形时两种,不要漏掉.主要利用直角三角形的勾股定理作为等量关系解方程求线段的长度.
(1)过C点作CN⊥DE垂足为N,
∵△ABC≌△DEC,∴AB=DE.
∵S△ABC=1/2AB•CF=S△DCE=1/2DE•CN,
∵CF=CN,
∴CP平分∠EPA.
(2)如图2在PA上截取PM=PE连接CM,过C作CK⊥PA,
由(1)同理可证CP平分∠EPA,
∴∠EPC=∠APC.
∵PM=PB PC=PC,
∴△PMC≌△PEC,
∴CE=CM,PE=PM.
又∵CE=CB,∴CM=CB=5,
在△BCK中,cos∠B=BK/BC=1/2BM/5=BM/10,
在△ABC中,tan∠A=3/4=5/AC,
∴AC=20/3.
∵AB=根号【5^2+(20/3)^2】=25/3,
∴cos∠B=3/5=BM/10.
∴BM=6.
∵BM=PM+PB,
∴PM+PE=6.
(3)如图3,∵△BCE的面积为25/4根号3BC=CE=5,
∴BE=5∠CED=∠PBC∠ECB=60°,
∴∠BPE=60°.
过B点BH⊥PE,设BP=x,
∵PE+BP=6,∴PE=6-xPH=1/2xBH=根号3/2*x.
∵PE+BP=6,∴PE=6-xPH=1/2xBH=根号3/2*x.
∴5^2=(根号3/2x)^2+(6-x-1/2x)^2,x=3±4/3根号3.
∵3+4/3根号3>5,
∵∠BPC=120°∴BP<BC,
∴x=3+4/3根号3,
∴BP=3-4/3根号3.
如图4,当△BEC为钝角三角形时,同理可得BE=5根号3,PE-PB=6,
∵PE=6+x,∠BPE=60°,x=-3±4根号3
∵-3-4根号3<0,
∴x=4根号3-3.
∴BP=3-4/3根号3 或 4根号3-3.
已知Rt△ABC中,∠ACB=90º,BC=5,tan∠A= 3 4 .将△ABC绕点C逆时针旋转α(45°<
如图 在△abc中∠acb=90°ac=bc=1 将△abc绕点c逆时针旋转角a(0°
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,点B经
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=1,将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C,使得点A′
如图:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2将△ABC绕点C逆时针旋转30°得到△A1B1C与AB交于点D,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将△ABC绕顶点C逆时针旋转30°得到△A’B'C,CB'与AB交于
如图,△ABC中,∠C=90.(1)将△ABC绕点B逆时针旋转90,画出旋转后的三角形;(2)若BC=3,AC=4,点A
如图,△abc中,∠acb=90°,ac=bc=1,将△abc绕点c逆时针旋转a(0°<a<90°)得到△a1b1c1
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′,连接B′C,则△AB′C的面
如图,三角形ABC中,角ACB=90度,AC=BC,将三角形ABC绕点C逆时针旋转角a(0度
如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2根号3,∠C=60°,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C',旋转角为
已知:如图所示,Rt△ABC,∠ACB=90°,将Rt△ABC绕点C顺时针旋转得Rt△A'B'C,且点B'在AB上,A'