若a、b、c、d都是实数,求证:(a2+b2)(c3+d2)大于等于(ac+bd)2
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/23 03:20:15
若a、b、c、d都是实数,求证:(a2+b2)(c3+d2)大于等于(ac+bd)2
[证法1] (比较法)
(ac+bd)2-(a2+b2)(c2+d2)
=a2c2+2abcd+b2d2-(a2c2+a2d2+b2c 2+b2d2)
=-(a2d2-2abcd+b2c 2)
=-(ad-bc)2≤0(当ad=bc时取等号,以下同).
∴(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
[证法2] (构造二次函数法)
令函数f(x)=(a2+b2)x2-2(ac+bd)x+(c2+d2),
则f(x)=a2x2-2acx+c2+b2x2-2bdx+d2
=(ax-c)2+(bx-d)2≥0.
又知二次系数大于0,故
△=4(ac+bd)2-4(a2+b2)(c2+d2)≤0.
∴ (ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
[证法3] (三角代换法)
设a=mcosα ,c=ncos β,则
b=msin α,d=nsinβ ,从而
(ac+bd)2=m2n2cos2(α -β )≤m2n2=(a2+b2)(c2+d2).
∴(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
(ac+bd)2-(a2+b2)(c2+d2)
=a2c2+2abcd+b2d2-(a2c2+a2d2+b2c 2+b2d2)
=-(a2d2-2abcd+b2c 2)
=-(ad-bc)2≤0(当ad=bc时取等号,以下同).
∴(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
[证法2] (构造二次函数法)
令函数f(x)=(a2+b2)x2-2(ac+bd)x+(c2+d2),
则f(x)=a2x2-2acx+c2+b2x2-2bdx+d2
=(ax-c)2+(bx-d)2≥0.
又知二次系数大于0,故
△=4(ac+bd)2-4(a2+b2)(c2+d2)≤0.
∴ (ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
[证法3] (三角代换法)
设a=mcosα ,c=ncos β,则
b=msin α,d=nsinβ ,从而
(ac+bd)2=m2n2cos2(α -β )≤m2n2=(a2+b2)(c2+d2).
∴(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
若a、b、c、d都是实数,求证:(a2+b2)(c3+d2)大于等于(ac+bd)2
若a、b、c、d都是实数,求证:(a2+b2)(c3+d2
用分析法求证 已知a,b,c,d都是实数 且a2加b2等于1 c2加d2等于1 求证 绝对值ac加bd小于等于1
若实数a.b.c.d都不等于0,且满足(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0 求证b2=ac
a,b,c为实数,且a2+b2=1,c2+d2=1,求证|ac+bd|
已知a、b、c、d为实数,且满足a2+ b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0求证d2+b2=1,c2+a2=1,ad
已知a,b,c,d∈R,求证ac+bd≤√〔(a2+b2)(c2+d2)〕
假设a b c d属于实数,ac-bd=1.证明:a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1
已知abcd都为正实数,求证根号a2+b2*根号c2+d2大于等于ac+bd
已知实数a、b、c、d满足a2+b2=1,c2+d2=2,求ac+bd的最大值.
已知a,b,c,d都是实数,且a2+b2=1,c2+a2=1,求证:丨ac+bd丨≤1
用图说明公式:(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd.