神马作文网如何推导出弹性势能的表达式
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：物理作业 时间：2024/11/10 07:48:09
如何推导出弹性势能的表达式
求弹性势能的表达式的较详细的推导过程
需要适合中学生理解的推导过程
求弹性势能的表达式的较详细的推导过程
需要适合中学生理解的推导过程
设想在重力作用下,一个物体缓慢从地面升至高度h处.
在有限高度内,重力可视为恒量mg.不随高度的变化而变化.
因此 重力对物体所做的功为 -mgh.（重力与位移方向相反,所以功为负）
重力属于保守力,保守力所做的功 + 保守力势能 = 常量.
因此,重力势能的表达式为 mgh.（以地面为势能零点）
------------------------------
而对一个弹性系统,弹性恢复力 F = - kx.
（k为弹性恢复系数,x表示离开平衡位置的距离）.
与重力不同,弹性恢复力不是常量,随着位移x的变化而变化.
因此 这个题目需要微积分知识的基础.
距离平衡位置为x时,恢复力为 F = -kx,负号表示恢复力的方向是指向平衡位置.其中k为弹性恢复系数.
从平衡位置 到达x位置,恢复力所做的功为 恢复力与位移乘积 从0到x 的定积分.即
W = ∫F*dx = ∫-kx * dx = -kx^2/2 （从0到x）= - kx^2/2 - 0 = - kx^/2
恢复力属于弹性系统的内力,和重力一样,也属于保守力.
保守力所做的功 = 保守势能变化的负值
以平衡位置为势能零参考点.因此
弹性势能 E = -W = kx^2/2
做 F---x 关系曲线.从这条直线的 起点和终点 分别向x轴做垂线.
那么由 这两条垂线、x轴、F--x曲线 围成了一个闭合图形.
这个图形的面积 就是 力F所做的功 W.
上面讲的这段 在中学 接触过没?如果没有的话,那就直接承认.对于知识储备不足而尚不能证明的理论,先暂且直接承认,这也是常用的学习方法.
对于本题目,
以 弹性力 F = -kx 作为y轴,
以 伸缩量 x 作为 x轴
F--x“曲线”是通过坐标原点的一条直线.
经从该直线的起点和终点向x轴做投影后,得到第四象限的一个三角形.
三角形的面积为
S = 底*高/2 = (x-0)*kx/2 = kx^2/2
由于力的方向与位移方向相反（同时也因为是在x轴下方）,所以 F所做的功是面积的负值,即
W = -S = -kx^2/2
而弹性势能为
E = -W = kx^2/2
在有限高度内,重力可视为恒量mg.不随高度的变化而变化.
因此 重力对物体所做的功为 -mgh.（重力与位移方向相反,所以功为负）
重力属于保守力,保守力所做的功 + 保守力势能 = 常量.
因此,重力势能的表达式为 mgh.（以地面为势能零点）
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而对一个弹性系统,弹性恢复力 F = - kx.
（k为弹性恢复系数,x表示离开平衡位置的距离）.
与重力不同,弹性恢复力不是常量,随着位移x的变化而变化.
因此 这个题目需要微积分知识的基础.
距离平衡位置为x时,恢复力为 F = -kx,负号表示恢复力的方向是指向平衡位置.其中k为弹性恢复系数.
从平衡位置 到达x位置,恢复力所做的功为 恢复力与位移乘积 从0到x 的定积分.即
W = ∫F*dx = ∫-kx * dx = -kx^2/2 （从0到x）= - kx^2/2 - 0 = - kx^/2
恢复力属于弹性系统的内力,和重力一样,也属于保守力.
保守力所做的功 = 保守势能变化的负值
以平衡位置为势能零参考点.因此
弹性势能 E = -W = kx^2/2
做 F---x 关系曲线.从这条直线的 起点和终点 分别向x轴做垂线.
那么由 这两条垂线、x轴、F--x曲线 围成了一个闭合图形.
这个图形的面积 就是 力F所做的功 W.
上面讲的这段 在中学 接触过没?如果没有的话,那就直接承认.对于知识储备不足而尚不能证明的理论,先暂且直接承认,这也是常用的学习方法.
对于本题目,
以 弹性力 F = -kx 作为y轴,
以 伸缩量 x 作为 x轴
F--x“曲线”是通过坐标原点的一条直线.
经从该直线的起点和终点向x轴做投影后,得到第四象限的一个三角形.
三角形的面积为
S = 底*高/2 = (x-0)*kx/2 = kx^2/2
由于力的方向与位移方向相反（同时也因为是在x轴下方）,所以 F所做的功是面积的负值,即
W = -S = -kx^2/2
而弹性势能为
E = -W = kx^2/2