神马作文网在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为1 2的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心．（Ⅱ）设P
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/23 21:25:22
在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为1 2的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心．（Ⅱ）设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为1/2的直线l1,l2．当直线l1,l2都与圆C相切时,求P的坐标．
离心率为1/2
离心率为1/2
圆C:(x-2)^2+y^2 = 2,圆心为(2,0)是椭圆1个焦点,所以c=2
e=1/2 所以 a=4,椭圆方程 x^2/16+y^2/12 =1
设M坐标(x0,y0)
l1 :(y-y0) =(x-x0) * k1
l2 :(y-y0) = (x-x0) * k2 (k1k2=1/2)
直线l1,l2都与圆C相切,所以圆心到l1,l2的距离都是√2
|k1(2-x0)+y0|/ √(1+k1^2) =√2= |k2(2-x0)+y0|/ √(1+k2^2) =√2
平方,
可得 k1^2 * ((2-x0)^2-2)+2(2-x0)k1y0+y0^2-2 =0
k2^2 * ((2-x0)^2-2)+2(2-x0)k2y0+y0^2-2 =0
注意这一步,所以,k1,k2 是方程 m^2 * ((2-x0)^2-2)+2(2-x0)my0+y0^2-2 =0 的两根!
所以 2（y0^2 - 2） = ((x0-2)^2-4)
又 y0^2 = 12(1-x0^2/16) 可知 20-3x0^2/2 = x0^2 -4x0+2
所以 5x0^2-8x0-36=0
解之 x0=-2 或 x0 = 18/5
所以得到P坐标(-2,±3);(18/5,±√57/5)
e=1/2 所以 a=4,椭圆方程 x^2/16+y^2/12 =1
设M坐标(x0,y0)
l1 :(y-y0) =(x-x0) * k1
l2 :(y-y0) = (x-x0) * k2 (k1k2=1/2)
直线l1,l2都与圆C相切,所以圆心到l1,l2的距离都是√2
|k1(2-x0)+y0|/ √(1+k1^2) =√2= |k2(2-x0)+y0|/ √(1+k2^2) =√2
平方,
可得 k1^2 * ((2-x0)^2-2)+2(2-x0)k1y0+y0^2-2 =0
k2^2 * ((2-x0)^2-2)+2(2-x0)k2y0+y0^2-2 =0
注意这一步,所以,k1,k2 是方程 m^2 * ((2-x0)^2-2)+2(2-x0)my0+y0^2-2 =0 的两根!
所以 2（y0^2 - 2） = ((x0-2)^2-4)
又 y0^2 = 12(1-x0^2/16) 可知 20-3x0^2/2 = x0^2 -4x0+2
所以 5x0^2-8x0-36=0
解之 x0=-2 或 x0 = 18/5
所以得到P坐标(-2,±3);(18/5,±√57/5)
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