人们为什么要定义复数,根本不存在的东西?

人们为什么要定义复数,根本不存在的东西?

我们知道,在实数范围内,解方程是无能为力的,只有把实数集扩充到复数集才能解决．对于复数a＋bi（a、b都是实数）来说,当b=0时,就是实数；当b≠0时叫虚数,当a=0,b≠0时,叫做纯虚数．可是,历史上引进虚数,把实数集扩充到复数集可不是件容易的事,那么,历史上是如何引进虚数的呢?
16世纪意大利米兰学者卡当（1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中,公布了三次方程的一般解法,被后人称之为“卡当公式”．他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家,并且在讨论是否可能把10分成两部分,使它们的乘积等于40时,他把答案写成=40,尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的,但他还是把10分成了两部分,并使它们的乘积等于40．给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（1596—1650）,他在《几何学》（1637年发表）中使“虚的数’‘与“实的数”相对应,从此,虚数才流传开来．
数系中发现一颗新星——虚数,于是引起了数学界的一片困惑,很多大数学家都不承认虚数．德国数学家菜不尼茨（1664—1716）在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所,它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”．瑞士数学大师欧拉（1707—1783）说；“一切形如,习的数学武子都是不可能有的,想象的数,因为它们所表示的是负数的平方根．对于这类数,我们只能断言,它们既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它们纯属虚幻．”然而,真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验,最终占有自己的一席之地．法国数学家达兰贝尔（．1717—1783）在 1747年指出,如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算,那么它的结果总是的形式（a、b都是实数）（说明：现行教科书中没有使用记号＝－i,而使用=一1）．法国数学家棣莫佛（1667—1754）在1730年发现公式了,这就是著名的探莫佛定理．欧拉在 1748年发现了有名的关系式,并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i来表示一1的平方根,首创了用符号i作为虚数的单位．“虚数”实际上不是想象出来的,而它是确实存在的．挪威的测量学家成塞尔（1745—1818）在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释,并首先发表其作法,然而没有得到学术界的重视．
德国数学家高斯（1777—1855）在 1806年公布了虚数的图象表示法,即所有实数能用一条数轴表示,同样,虚数也能用一个平面上的点来表示．在直角坐标系中,横轴上取对应实数a的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并过这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点C就表示复数a＋bi．象这样,由各点都对应复数的平面叫做“复平面”,后来又称“高斯平面”．高斯在1831年,用实数组（a,b）代表复数 a＋bi,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”．他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合．统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把数轴上的点与实数—一对应,扩展为平面上的点与复数—一对应．高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间—一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法．至此,复数理论才比
较完整和系统地建立起来了．
经过许多数学家长期不懈的努力,深刻探讨并发展了复数理论,才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱,显现出它的本来面目,原来虚数不虚呵．虚数成为了数系大家庭中一员,从而实数集才扩充到了复数集．
随着科学和技术的进步,复数理论已越来越显出它的重要性,它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力,也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据．