一道排列组合题求解一共有十颗糖,每天至少吃一颗,有多少种吃法?

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/09/20 07:03:13

一道排列组合题求解
一共有十颗糖,每天至少吃一颗,有多少种吃法?

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设a(n)表示吃n颗糖的所有吃法种数.
最后一天吃完,则最后一天吃的糖的个数只可能是
1,2,3,4,5,6,…… ,n.
当为1时,则吃了前面的n-1颗糖的吃法有a(n-1)
当为2时,则吃了前面的n-2颗糖的吃法有a(n-2)
当为3时,则吃了前面的n-3颗糖的吃法有a(n-3)
……
当为n-1时,则吃了前面的n-1颗糖的吃法有a(1)
但别忘了“最后一天”可能也是指第一天.
她一下子就吃了所有的糖,这种情况要算进去.
根据加法原理：
一定就有 a(n)=a(n-1)+a(n-2)+……+a(2)+a(1)＋1
首先我们枚举几个初值
吃1颗糖的吃法a(1)=1;
吃2颗糖的吃法a(2)=2;
吃3颗糖的吃法a(3)=4;
……
怎么样?a(2) ,a(3)符合上述式子吧?
下面来解出通项公式来.
设s(n)＝a(n)+a(n-1)+a(n-2)+……+a(2)+a(1)
则a(n)＝s(n)－s(n-1)
代入我们推倒的式子得
s(n)－s(n-1)＝s(n-1)＋1
容易解得 s(n)＝2＾n－1
回代得出 a(n)＝s(n)－s(n-1)＝2＾（n-1）
所以10颗糖他的吃法有 2^9 ＝512种

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