【平面几何】求做直线,使定点到该直线的距离之和最短

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/11 14:21:23

【平面几何】求做直线,使定点到该直线的距离之和最短
小弟近日梦到一问题（平几,不要想立体几何）：
如题,求做直线,使平面内的n各定点到该直线的距离之和最短.
n=1.过该点的所有直线均可
n=2.过这两点的直线
n=3.过这三点中距离最大的两点的直线（例：ABC三点,若AB＞BC＞AC,就是过AB的直线）
(1)n=3时的给出的做法是正确的还是错误的.如果是正确的,请给出证明,如果是错误的,请给出正确做法并证明
(2)求当n=4,5,6...
我的思路：
1.解析几何比较实用平面内点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为(|y0-kx0-b|)/(√(1+k^2))
2.可做一条与所求直线l垂直的直线m,然后做那些定点在直线m上的投影.然后求这些投影的点到直线l与直线m的交点的距离即可.（显然l与m的交点应该在正中间的一个投影上（如果是n奇数）或在正中间的两点之间（如果n是偶数））

很好很有趣的问题
首先,这个问题我在信息学奥赛的国家集训队论文集中看到过,当时是作为一个程序算法题出现的
论文集的解法并不是基于严格的数学证明.我做了一个严格的数学证明,证明过程要用到一些一元函数导数求极值的手段,楼主如果学过导数可能容易理解一些
在详细解答之前,先给出你的两个问题的结论:
(1)n=3时你的做法是对的
(2)当n>=2时,点集距离和最小的直线必定过点集中的某两个点,也就是说,距离和最小的直线是n(n-1)/2条过两点的直线中距离和最小的那条直线
以n=3为例,可能的距离最小和直线只能在AB,BC,AC中出现,因为AB>BC>AC,由于底越大高越小,所以n=3是所求的直线就是距离最大的两点的连线(即AB)
也就回答了你的(1)问题
详细的解答过程我放在了空间相册里(这儿打字符根本说不明白),过程还是比较复杂的,一共三张图片,全部用latex排版,数学公式看上去是很美观的(顺次点开看到全部解答,点击屏幕右下角的"查看原图"恢复到原来的图片大小):

有了(2)的结论,楼主还可以进一步想想,这n(n-1)/2条过两点直线中哪条是距离和最短的(我猜想没有一个统一的答案)
另外想问问3楼的弟兄,"证明很简单"你能否给出一个详细证明?看你n=3的情况证明都是错的!
楼上的兄弟,线性回归求的是点到直线距离的平方和最小值,不是距离的和,好伐.

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