求文档:《概率论与数理统计》课后习题答案第二版魏宗舒

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第一章 事件与概率
1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合.
(1)10件产品中有1件是不合格品,从中任取2件得1件不合格品.
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球,从中任取一球,(ⅰ)得白球,(ⅱ)得红球.
解 (1)记9个合格品分别为 ,记不合格为次,则



(2)记2个白球分别为 , ,3个黑球分别为 , , ,4个红球分别为 , , , .则 { , , , , , , , , }
(ⅰ) { , } (ⅱ) { , , , }
1.2 在数学系的学生中任选一名学生,令事件A表示被选学生是男生,事件B表示被选学生是三年级学生,事件C表示该生是运动员.
(1) 叙述 的意义.
(2)在什么条件下 成立?
(3)什么时候关系式 是正确的?
(4) 什么时候 成立?
解 (1)事件 表示该是三年级男生,但不是运动员.
(2) 等价于 ,表示全系运动员都有是三年级的男生.
(3)当全系运动员都是三年级学生时.
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`.
1.3 一个工人生产了 个零件,以事件 表示他生产的第 个零件是合格品（ ）.用 表示下列事件：
(1)没有一个零件是不合格品；
(2)至少有一个零件是不合格品；
(3)仅仅只有一个零件是不合格品；
(4)至少有两个零件是不合格品.
解 (1) ; (2) ; (3) ;
(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”,可表示为 ；
1.4 证明下列各式：
(1) ;
(2)
(3) ;
(4)
(5)
(6)
证明 （1）—（4）显然,（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法.
1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张,把卡片上的两个数字组成一个分数,求所得分数为既约分数的概率.
解 样本点总数为 .所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个,或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合,所以事件 “所得分数为既约分数”包含 个样本点.于是
.
1.6 有五条线段,长度分别为1、3、5、7、9.从这五条线段中任取三条,求所取三条线段能构成一个三角形的概率.
解 样本点总数为 .所取三条线段能构成一个三角形,这三条线段必须是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9.所以事件 “所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点,于是 .
1.7 一个小孩用13个字母 作组字游戏.如果字母的各种排列是随机的（等可能的）,问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大?
解 显然样本点总数为 ,事件 “恰好组成“MATHEMATICIAN”包含 个样本点.所以
1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”,求它们正好可以相互吃掉的概率.
解 任意固定红“车”的位置,黑“车”可处于 个不同位置,当它处于和红“车”同行或同列的 个位置之一时正好相互“吃掉”.故所求概率为

1.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯,在底层登上7位乘客.电梯在每一层都停,乘客从第二层起离开电梯,假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的,求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率.
解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯,现有7位乘客,所以样本点总数为 .事件 “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层,各有一位乘客离开电梯”.所以包含 个样本点,于是 .
1.10 某城市共有10000辆自行车,其牌照编号从00001到10000.问事件“偶然遇到一辆自行车,其牌照号码中有数字8”的概率为多大?
解 用 表示“牌照号码中有数字8”,显然 ,所以
-
1.11 任取一个正数,求下列事件的概率：
(1)该数的平方的末位数字是1；
(2)该数的四次方的末位数字是1；
(3)该数的立方的最后两位数字都是1；
解 (1) 答案为 .
(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时,其四次方的末位数是1,所以答案为
(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字,所以样本空间包含 个样本点.用事件 表示“该数的立方的最后两位数字都是1”,则该数的最后一位数字必须是1,设最后第二位数字为 ,则该数的立方的最后两位数字为1和3 的个位数,要使3 的个位数是1,必须 ,因此 所包含的样本点只有71这一点,于是
.
1.12 一个人把6根草掌握在手中,仅露出它们的头和尾.然后请另一个人把6个头两两相接,6个尾也两两相接.求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率.并把上述结果推广到 根草的情形.
解 (1)6根草的情形.取定一个头,它可以与其它的5个头之一相接,再取另一头,它又可以与其它未接过的3个之一相接,最后将剩下的两个头相接,故对头而言有 种接法,同样对尾也有 种接法,所以样本点总数为 .用 表示“6根草恰好连成一个环”,这种连接,对头而言仍有 种连接法,而对尾而言,任取一尾,它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接.再取另一尾,它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接,最后再将其余的尾连接成环,故尾的连接法为 .所以 包含的样本点数为 ,于是
(2) 根草的情形和(1)类似得
1.13 把 个完全相同的球随机地放入 个盒子中（即球放入盒子后,只能区别盒子中球的个数,不能区别是哪个球进入某个盒子,这时也称球是不可辨的）.如果每一种放法都是等可能的,证明(1)某一个指定的盒子中恰好有 个球的概率为 ,
(2)恰好有 个盒的概率为 ,
(3)指定的 个盒中正好有 个球的概率为 ,
解 略.
1.14 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达,乘客到达汽车站的时刻是任意的,求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率.
解 所求概率为
1.15 在 中任取一点 ,证明 的面积之比大于 的概率为 .
解 截取 ,当且仅当点 落入 之内时 的面积之比大于 ,因此所求概率为 .
1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达.设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时,求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率.
解 分别用 表示第一、二艘船到达泊位的时间.一艘船到达泊位时必须等待当且仅当 .因此所求概率为
1.17 在线段 上任取三点 ,求：
(1) 位于 之间的概率.
(2) 能构成一个三角形的概率.
解 (1) (2)
1.18 在平面上画有间隔为 的等距平行线,向平面任意地投掷一个三角形,该三角形的边长为 （均小于 ）,求三角形与平行线相交的概率.
解 分别用 表示三角形的一个顶点与平行线相合,一条边与平行线相合,两条边与平行线相交,显然 所求概率为 .分别用 表示边 ,二边 与平行线相交,则 显然 , , .所以
[ ]
（用例1.12的结果）
1.19 己知不可能事件的概率为零,现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件?试举例说明之.
解 概率为零的事件不一定是不可能事件.例如向长度为1的线段内随机投点.则事件 “该点命中 的中点”的概率等于零,但 不是不可能事件.
1.20 甲、乙两人从装有 个白球与 个黑球的口袋中轮流摸取一球,甲先取,乙后取,每次取后都有不放回,直到两人中有一人取到白球时停止.试描述这一随机现象的概率空间,并求甲或乙先取到白球的概率.
解 表示白, 表示黑白, 表示黑黑白,… ,
则样本空间 { , ,…, },并且 ,
, ,…,


甲取胜的概率为 + + +…
乙取胜的概率为 + + +…
1.21 设事件 及 的概率分别为 、 及 ,求 , , ,
解 由 得

,

1.22 设 、 为两个随机事件,证明：
(1) ;
(2) .
证明 (1) =
(2) 由(1)和 得第一个不等式,由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式.
1.23 对于任意的随机事件 、 、 ,证明：
证明

1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙.在这个城市的居民中,订甲报的有45%,订乙报的有35%,订丙报的有30%,同时订甲、乙两报的有10%,同时订甲、丙两报的有8%,同时订乙、丙两报的有5%,同时订三种报纸的有3%,求下述百分比：
(1)只订甲报的；
(2)只订甲、乙两报的；
(3)只订一种报纸的；
(4)正好订两种报纸的；
(5)至少订一种报纸的；
(6)不订任何报纸的.
解 事件 表示订甲报,事件 表示订乙报,事件 表示订丙报.
(1) = =30%
(2)
(3)

+ + = + + =73%
(4)
(5)
(6)
1.26 某班有 个学生参加口试,考签共N张,每人抽到的考签用后即放回,在考试结束后,问至少有一张考没有被抽到的概率是多少?
解 用 表示“第 张考签没有被抽到”, .要求 .
, ,……,

,……
所以
1.27 从 阶行列式的一般展开式中任取一项,问这项包含主对角线元素的概率是多少?
解 阶行列式的展开式中,任一项略去符号不计都可表示为 ,当且仅当 的排列 中存在 使 时这一项包含主对角线元素.用 表示事件“排列中 ”即第 个主对角线元素出现于展开式的某项中.则
,……
所以
1.29 已知一个家庭中有三个小孩,且其中一个是女孩,求至少有一个男孩的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的）.
解 用 分别表示男孩和女孩.则样本空间为：

其中样本点依年龄大小的性别排列. 表示“有女孩”, 表示“有男孩”,则

1.30 设 件产品中有 件是不合格品,从中任取两件,
(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下,求另一件也是不合格品的概率.
(2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下,求另一件也是不合格品的概率.
解（1）设 表示“所取产品中至少有一件是不合格品”, 表示“所取产品都是不合格品”,则

(2)设 表示“所取产品中至少有一件合格品”, 表示“所取产品中有一件合格品,一件不合格品”.则


1.31 个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票,他们依次摸彩,求：
(1)已知前 个人都没摸到,求第 个人摸到的概率；
(2)第 个人摸到的概率.
解 设 表示“第 个人摸到”, .
(1)
(2)
1.32 已知一个母鸡生 个蛋的概率为 ,而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为 ,证明：一个母鸡恰有 个下一代（即小鸡）的概率为 .
解 用 表示“母鸡生 个蛋”, 表示“母鸡恰有 个下一代”,则



1.33 某射击小组共有20名射手,其中一级射手4人,二级射手8人,三级射手7人,四级射手一人,一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2,求在一组内任选一名射手,该射手能通过选拔进入决赛的概率.
解 用 表示“任选一名射手为 级”, , 表示“任选一名射手能进入决赛”,则
1.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉,它们的产量各占25%,35%,40%,并在各自的产品里,不合格品各占有5%,4%,2%.现在从产品中任取一只恰是不合格品,问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少?
解 用 表示“任取一只产品是甲台机器生产”
表示“任取一只产品是乙台机器生产”
表示“任取一只产品是丙台机器生产”
表示“任取一只产品恰是不合格品”.
则由贝叶斯公式：


1.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1,它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1.当有一台机床需要修理时,问这台机床是车床的概率是多少?
解 则 , , ,
, , ,
由贝时叶斯公式得
1.36 有朋友自远方来访,他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4.如果他乘火车、轮船、汽车来的话,迟到的概率分别是 、 、 ,而乘飞机不会迟到.结果他迟到了,试问他是乘火车来的概率是多少?
解 用 表示“朋友乘火车来”, 表示“朋友乘轮船来”, 表示“朋友乘汽车来”, 表示“朋友乘飞机来”, 表示“朋友迟到了”.
则
1.37 证明：若三个事件 、 、 独立,则 、 及 都与 独立.
证明 （1）
=
（2）
（3） =
1.38 试举例说明由 不能推出 一定成立.
解 设 , , ,
, , , 则 ,

但是
1.39 设 为 个相互独立的事件,且 ,求下列事件的概率：
(1) 个事件全不发生；
(2) 个事件中至少发生一件；
(3) 个事件中恰好发生一件.
解 (1)
(2)
(3) .
1.40 已知事件 相互独立且互不相容,求 （注： 表示 中小的一个数）.
解 一方面 ,另一方面 ,即 中至少有一个等于0,所以
1.41 一个人的血型为 型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03,现在任意挑选五个人,求下列事件的概率
(1)两个人为 型,其它三个人分别为其它三种血型；
(2)三个人为 型,两个人为 型；
(3)没有一人为 .
解 (1)从5个人任选2人为 型,共有 种可能,在其余3人中任选一人为 型,共有三种可能,在余下的2人中任选一人为 型,共有2种可能,另一人为 型,顺此所求概率为：
(2)
(3)
1.42 设有两门高射炮,每一门击中目标的概率都是0.6,求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少?又若有一架敌机入侵领空,欲以99%以上的概率击中它,问至少需要多少门高射炮.
解 用 表示“第 门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”, , 表示“击中飞机”.则 , .
(1)
(2) ,
取 .至少需要6门高射炮,同时发射一发炮弹,可保证99%的概率击中飞机.
1.43 做一系列独立的试验,每次试验中成功的概率为 ,求在成功 次之前已失败了 次的概率.
解 用 表示“在成功 次之前已失败了 次”, 表示“在前 次试验中失败了 次”, 表示“第 次试验成功”
则

1.45 某数学家有两盒火柴,每盒都有 根火柴,每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根.求他用完一盒时另一盒中还有 根火柴（ ）的概率.
解 用 表示“甲盒中尚余 根火柴”, 用 表示“乙盒中尚余 根火柴”, 分别表示“第 次在甲盒取”,“第 次在乙盒取”, 表示取了 次火柴,且第 次是从甲盒中取的,即在前 在甲盒中取了 ,其余在乙盒中取.所以
由对称性知 ,所求概率为：