设f(x)在(-∞,∞)三阶可导,证:存在c∈(-∞,∞),使得f(c)f'(c)f''(c)f'''(c)≥0
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/29 13:24:33
设f(x)在(-∞,∞)三阶可导,证:存在c∈(-∞,∞),使得f(c)f'(c)f''(c)f'''(c)≥0
首先,若f(x),f'(x),f"(x)或f"'(x)有零点,则在零点处成立f(x)f'(x)f"(x)f"'(x) = 0.
故只需考虑它们都没有零点的情形.
此时由f(x),f'(x),f"(x)连续,它们在R上的符号恒定.
注意到f(x),-f(x),f(-x),-f(-x)这四个函数及其导数的符号分别相同或相反.
且如果用它们来替代f(x)时,f(x)f'(x)f"(x)f"'(x)的取值不改变.
因此不妨设f(x)与f'(x)都恒大于0.
下面证明f"(x)恒大于0.
用反证法,假设f"(x)恒小于0,则f'(x)单调递减,于是对t < b,有f'(t) > f'(b) > 0.
对任意x < b,由Lagrange中值定理存在x < t < b使f'(t) = (f(x)-f(b))/(x-b).
于是f(x) = f(b)+(x-b)f'(t) < f(b)+(x-b)f'(b).
但当x趋于-∞,易见f(b)+(x-b)f'(b)同样趋于-∞,与f(x)恒大于0矛盾.
因此f"(x)不恒小于0,又f"(x)符号恒定,故f"(x)恒大于0.
最后只需证明f"'(x)不恒小于0.
用反证法,假设f"'(x)恒小于0,则f"(x)单调递减,于是对t < b,有f"(t) > f"(b) > 0.
对任意x < b,由Lagrange中值定理存在x < t < b使f"(t) = (f'(x)-f'(b))/(x-b).
于是f'(x) = f'(b)+(x-b)f"(t) < f'(b)+(x-b)f"(b).
但当x趋于-∞,易见f'(b)+(x-b)f"(b)同样趋于-∞,与f'(x)恒大于0矛盾.
因此f"'(x)不恒小于0,即存在c使f"'(c) ≥ 0.
此时有f(c)f'(c)f"(c)f"'(c) ≥ 0.
故只需考虑它们都没有零点的情形.
此时由f(x),f'(x),f"(x)连续,它们在R上的符号恒定.
注意到f(x),-f(x),f(-x),-f(-x)这四个函数及其导数的符号分别相同或相反.
且如果用它们来替代f(x)时,f(x)f'(x)f"(x)f"'(x)的取值不改变.
因此不妨设f(x)与f'(x)都恒大于0.
下面证明f"(x)恒大于0.
用反证法,假设f"(x)恒小于0,则f'(x)单调递减,于是对t < b,有f'(t) > f'(b) > 0.
对任意x < b,由Lagrange中值定理存在x < t < b使f'(t) = (f(x)-f(b))/(x-b).
于是f(x) = f(b)+(x-b)f'(t) < f(b)+(x-b)f'(b).
但当x趋于-∞,易见f(b)+(x-b)f'(b)同样趋于-∞,与f(x)恒大于0矛盾.
因此f"(x)不恒小于0,又f"(x)符号恒定,故f"(x)恒大于0.
最后只需证明f"'(x)不恒小于0.
用反证法,假设f"'(x)恒小于0,则f"(x)单调递减,于是对t < b,有f"(t) > f"(b) > 0.
对任意x < b,由Lagrange中值定理存在x < t < b使f"(t) = (f'(x)-f'(b))/(x-b).
于是f'(x) = f'(b)+(x-b)f"(t) < f'(b)+(x-b)f"(b).
但当x趋于-∞,易见f'(b)+(x-b)f"(b)同样趋于-∞,与f'(x)恒大于0矛盾.
因此f"'(x)不恒小于0,即存在c使f"'(c) ≥ 0.
此时有f(c)f'(c)f"(c)f"'(c) ≥ 0.
设函数f在实数范围连续,且f[f(x)]=x,证明至少存在一点c属于实数,使得f(c)=c
一道高数题,.f(x)在【a,b】二阶可导,f’(a)=f’(b)=0,证明存在c∈(a,b)使得|f’’(c)|≥4/
设函数f(X)在区间[a,b]上连续,且f(a)b.证明存在c属于(a,b),使得f(c)=c
设f(x)在(a,b)上连续,且f(a)=f(b),证明:存在点c属于(a,b)使得f(C)=f(c+b-a/2)
微分中值定理证明题设f(x),g(x)在[a,b]上可导,并且g’(x) ≠0,证明存在c ∈(a,b)使得 (f(a)
设f(x)在[a,b]上二阶可导且f'(a)=f'(b)=0,试证:存在c属于(a,b),使得If
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0证明 存在c∈(a,b)使f‘(c)+f(c)
设f(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导,且f(a)=0,证明:至少存在一点C∈(0,a),使得f(C)+Cf
不等式证明题设f(x)在区间[0,1]上二阶可微,且f'(0)=f'(1)=0 证明存在c属于(0,1)满足f''(c)
设函数f(X)在区间[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a),证明:在[0,a]上存在一点c,使f(C)=f(c+a)
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导,且f(a)=f(b)=0,证明存在c属于(a,b),使f'(c)+f(c
函数f,g在[a,b]连续,(a,b)可导,f(a)=f(b)=0,证明存在c∈(a,b)使得f'(