AC⊥BD,证明AB²+BC²+CD²+AD² 为定值
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/21 08:50:29
AC⊥BD,证明AB²+BC²+CD²+AD² 为定值
AC与BD的交点是不是定点?
再问: 是
再答: 设交点M,圆心为O,圆的半径为r,OM的长为d。
根据勾股定理有:AB^2=AM^2+BM^2;
BC^2=BM^2+CM^2;
CD^2=CM^2+DM^2;
DA^2=DM^2+AM^2。
四式相加得:AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2(AM^2+CM^2+BM^2+DM^2)
=2[(AC^2)-2AM*CM]+2[(BD^2)-2BM*DM]
=2[(AC^2)+(BD^2)]-4[AM*CM+BM*DM]。
根据相交弦定理有AM*CM=BM*DM=(r+OM)(r-OM)=r^2-OM^2=r^2-d^2为定值;
又分别设圆心O到弦AC,BD的距离为L1,L2。
则AC^2=4[r^2-(L1)^2];BD^2=4[r^2-(L2)^2],
故AC^2+BD^2=4[2r^2-(L1)^2-(L2)^2]。且根据勾股定理得(L1)^2+(L2)^2=OM^2=d^2,
所以AC^2+BD^2=4(2r^2-d^2)为定值;
∴2[(AC^2)+(BD^2)]-4[AM*CM+BM*DM]=2*4(2r^2-d^2)-4*(r^2-d^2)=12r^2-4d^2为一定值。证毕#
再答: 可否采纳?
再问: 是
再答: 设交点M,圆心为O,圆的半径为r,OM的长为d。
根据勾股定理有:AB^2=AM^2+BM^2;
BC^2=BM^2+CM^2;
CD^2=CM^2+DM^2;
DA^2=DM^2+AM^2。
四式相加得:AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2(AM^2+CM^2+BM^2+DM^2)
=2[(AC^2)-2AM*CM]+2[(BD^2)-2BM*DM]
=2[(AC^2)+(BD^2)]-4[AM*CM+BM*DM]。
根据相交弦定理有AM*CM=BM*DM=(r+OM)(r-OM)=r^2-OM^2=r^2-d^2为定值;
又分别设圆心O到弦AC,BD的距离为L1,L2。
则AC^2=4[r^2-(L1)^2];BD^2=4[r^2-(L2)^2],
故AC^2+BD^2=4[2r^2-(L1)^2-(L2)^2]。且根据勾股定理得(L1)^2+(L2)^2=OM^2=d^2,
所以AC^2+BD^2=4(2r^2-d^2)为定值;
∴2[(AC^2)+(BD^2)]-4[AM*CM+BM*DM]=2*4(2r^2-d^2)-4*(r^2-d^2)=12r^2-4d^2为一定值。证毕#
再答: 可否采纳?
如图,四边形ABCD中,AC⊥BD交于点O,证明,AB²+CD²=BC²+AD²
已知AB+BD=AC+CD,AD⊥BC 证明AB=AC
如图,梯形ABCD中,AB‖CD,AD=BC,AC⊥BD,设梯形ABCD面积为a²求梯形高
已知三角形ABC中,AB =4,AC=3,AD⊥BC且AD²=BD*CD,求BC
在四面体A-BCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,证明AD⊥BC
勾股:已知,△ABC中,AB=AC,D为BC上一点.求证:AB²-AD²=BD×CD
已知在三角形ABC中,AB>AC,AD是BC边上的高,求证AB²-AC²=BC(BD-CD)
用向量方法证明:已知四面体ABCD,若AB⊥CD,AD⊥BC,则AC⊥BD.
a b c d ∈r+ 证明(ad+bc)/bd+(ab+cd)/ac≥4
已知如图,在△ABC中,AB>AC,AD为BC边上的高,求证:AB²-AC²=BC*(BD-DC)
如图,梯形abcd中,ad‖bc,对角线ac⊥bd于o,试判断ab+cd与ad+bc的大小,并证明
已知,如图,在三角形abc中,ab=ac,d为bc上任意一点,试证明:ab^2-ad^2=bd乘cd