△ABC,∠C=90°,CD⊥AB于D,作∠CDE=∠CDF=α,交AC于F,BC于E
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/01 10:34:30
△ABC,∠C=90°,CD⊥AB于D,作∠CDE=∠CDF=α,交AC于F,BC于E
当α为何值,△DEF面积最大?并求最大面积.
当α为何值,△DEF面积最大?并求最大面积.
首先,由于△ABC是给定的,所以A,B,C,AB=c,BC=a,CA=b都是已知量.并且,容易知道CD=ab/c,∠DCB=∠A,∠ACD=∠B.
在△CDF中,根据正弦定理,知道DF/SinB=CD/Sin(α+B),即DF=CD*SinB/Sin(α+B);
同理,在△CDE中,根据正弦定理,有DE=CD*SinA/Sin(α+A).
而我们知道,△DEF的面积为S=DE*DF*Sin2α/2,所以面积表达式为
S=CD*SinA/Sin(α+A)*CD*SinB/Sin(α+B)*Sin2α/2
=(a^2b^2/2c^2)*SinASinBSin2α/Sin(α+A)Sin(α+B)
=(a^2b^2/2c^2)*SinASinB*2SinαCosα/(SinαCosA+CosαSinA)(SinαCosB+CosαSinB)
=(a^2b^2/c^2)*1/(CotA+Cotα)(TanαCotB+1)
=(a^2b^2/c^2)*1/(CotATanαCotB+CotB+CotA+Cotα)
由于CotATanαCotB+Cotα≥2√(CotACotB)=2(因为A,B互余),所以
(a^2b^2/c^2)*1/(CotATanαCotB+CotB+CotA+Cotα)
≤(a^2b^2/c^2)*1/(CotB+CotA+2).
等号成立当且仅当Tanα=Cotα,即α=45°.
考虑到CotA=b/a,CotB=a/b,所以最大面积也可写成
a^3b^3/c^2(a+b)^2.
因此结论是,当α=45°时,三角形的最大面积为a^3b^3/c^2(a+b)^2.
在△CDF中,根据正弦定理,知道DF/SinB=CD/Sin(α+B),即DF=CD*SinB/Sin(α+B);
同理,在△CDE中,根据正弦定理,有DE=CD*SinA/Sin(α+A).
而我们知道,△DEF的面积为S=DE*DF*Sin2α/2,所以面积表达式为
S=CD*SinA/Sin(α+A)*CD*SinB/Sin(α+B)*Sin2α/2
=(a^2b^2/2c^2)*SinASinBSin2α/Sin(α+A)Sin(α+B)
=(a^2b^2/2c^2)*SinASinB*2SinαCosα/(SinαCosA+CosαSinA)(SinαCosB+CosαSinB)
=(a^2b^2/c^2)*1/(CotA+Cotα)(TanαCotB+1)
=(a^2b^2/c^2)*1/(CotATanαCotB+CotB+CotA+Cotα)
由于CotATanαCotB+Cotα≥2√(CotACotB)=2(因为A,B互余),所以
(a^2b^2/c^2)*1/(CotATanαCotB+CotB+CotA+Cotα)
≤(a^2b^2/c^2)*1/(CotB+CotA+2).
等号成立当且仅当Tanα=Cotα,即α=45°.
考虑到CotA=b/a,CotB=a/b,所以最大面积也可写成
a^3b^3/c^2(a+b)^2.
因此结论是,当α=45°时,三角形的最大面积为a^3b^3/c^2(a+b)^2.
如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,CD⊥AB于D,E是BC上一点,过D作DE的垂线交AC于F,则DF=DE
已知:在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为AC中点,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,求证:∠ADB=∠CDF
已知 如图,在△abc中,∠acb=90°,cd⊥ab于d,∠a的平分线交cd于f,高bc于e,过点e作eh⊥ab于h,
在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE评分∠BAC交BC于E,交CD于F,FG平行AB小BC于G,试判断C
已知:如图,三角形ABC中,∠ABC=90°,CD⊥AB于D,BF平分∠ABC交CD于E,交AC于F.
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D.∠BAC的平分线交CD于E,过E点作EF∥AB,交BC于F.求证:
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D.∠BAC的平分线交CD于E,过E点作EF∥AB,交BC于F.求证:
如图,在等腰直角△ABC,∠C=90°,AC=BC,D是AB上任意一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F,C
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上的一点,BD=BC.过D作AB的垂线交AC于点E,CD交BE于点F.求
在三角形ABC中,∠ACB=90°AC的垂直平分线DE交AC于D,交AB于E,点F在BC的延长线上,且∠CDF=∠A.求
在三角形ABC中,角ACB=90°,CD⊥AB于D,∠BAC的平分线交CD于E,过E点作EF‖AB,交BC于F.求证CE
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AF平分∠BAC交CD于E,交BC于F,EG‖AB交BC于G