（2014•安徽模拟）如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/19 00:16:27

（2014•安徽模拟）如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱D₁D的中点，点F在棱B₁B上，且满足B₁F=2BF．
（1）求证：EF⊥A₁C₁；
（2）在棱C₁C上确定一点G，使A、E、G、F四点共面，并求此时C₁G的长；
（3）求几何体ABFED的体积．

（2014•安徽模拟）如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满

（1）证明：连结B₁D₁，BD，∵四边形A₁B₁C₁D₁是正方形，∴B₁D₁⊥A₁C₁．

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁⊂平面A₁B₁C₁D₁，∴A₁C₁⊥DD₁．
∵B₁D₁∩DD₁=D₁，B₁D₁，DD₁⊂平面BB₁D₁D，∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D．
∵EF⊂平面BB₁D₁D，∴EF⊥A₁C₁．
（2）以点D为坐标原点，以DA，DC，DD₁所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系，

则A（a，0，0），A₁（a，0，a），C₁（0，a，a），E（0，0，
1
2a），F（a，a，
1
3a），
∴

A1C1=（-a，a，0），

EF=（-a，a，0），

EF=（a，a，-
1
6a）．
设G（0，a，h），
∵平面ADD₁A₁∥平面BCC₁B₁，平面ADD₁A₁∩平面AEGF=AE，
平面BCC₁B₁∩平面AEGF=FG，
∴存在实数λ，使得

FG＝λ

AE．
∵

AE=（-a，0，
1
2