(2004•湖北)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/30 08:43:03
(2004•湖北)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.
(I)试确定点F的位置,使得D1E⊥平面AB1F;
(II)当D1E⊥平面AB1F时,求二面角C1-EF-A的大小(结果用反三角函数值表示).
(I)试确定点F的位置,使得D1E⊥平面AB1F;
(II)当D1E⊥平面AB1F时,求二面角C1-EF-A的大小(结果用反三角函数值表示).
解法一:(I)连接A1B,则A1B是D1E在面ABB1A;内的射影
∵AB1⊥A1B,∴D1E⊥AB1,
于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF.
连接DE,则DE是D1E在底面ABCD内的射影.
∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF.
∵ABCD是正方形,E是BC的中点.
∴当且仅当F是CD的中点时,DE⊥AF,
即当点F是CD的中点时,D1E⊥平面AB1F.(6分)
(II)当D1E⊥平面AB1F时,由(I)知点F是CD的中点.
又已知点E是BC的中点,连接EF,则EF∥BD.连接AC,
设AC与EF交于点H,则CH⊥EF,连接C1H,则CH是
C1H在底面ABCD内的射影.
C1H⊥EF,即∠C1HC是二面角C1-EF-C的平面角.
在Rt△C1CH中,∵C1C=1,CH=
1
4AC=
2
4,
∴tan∠C1HC=
C1C
CH=
1
2
4=2
2.
∴∠C1HC=arctan2
2,从而∠AHC1=π-arctan2
2.
故二面角C1-EF-A的大小为π−arctan2
2.
解法二:以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
(1)设DF=x,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),
A1(0,0,1),B(1,0,1),D1(0,1,1),E
∵AB1⊥A1B,∴D1E⊥AB1,
于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF.
连接DE,则DE是D1E在底面ABCD内的射影.
∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF.
∵ABCD是正方形,E是BC的中点.
∴当且仅当F是CD的中点时,DE⊥AF,
即当点F是CD的中点时,D1E⊥平面AB1F.(6分)
(II)当D1E⊥平面AB1F时,由(I)知点F是CD的中点.
又已知点E是BC的中点,连接EF,则EF∥BD.连接AC,
设AC与EF交于点H,则CH⊥EF,连接C1H,则CH是
C1H在底面ABCD内的射影.
C1H⊥EF,即∠C1HC是二面角C1-EF-C的平面角.
在Rt△C1CH中,∵C1C=1,CH=
1
4AC=
2
4,
∴tan∠C1HC=
C1C
CH=
1
2
4=2
2.
∴∠C1HC=arctan2
2,从而∠AHC1=π-arctan2
2.
故二面角C1-EF-A的大小为π−arctan2
2.
解法二:以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
(1)设DF=x,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),
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在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱D1D的中点,点F在棱B1B上,且满足B1F
如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱D1D的中点,点F在棱B1B上,且满足B1F=2BF.
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