求函数 Y=√(x^2-6x+10)+√(x^2+6x+25) 的最小值

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/19 19:58:00

先配方得
y=√[(x-3)^2+1]+√[(x+3)^+4^2]
方法一:
(要知道坐标系中(x1,y1),(x2,y2)两点的直线距离为√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2])
(画个图)将它看成是一个人从点A(3,1),到x轴上(可以是任意一点),在到点B(-3,4)的路程.
现在求这个人的最短路程.(光的反射学了吗?类似这个)
作点B(-3,4)关于x轴对称的点B'(-3,-4)
用两点式求出直线AB'的解析式
L=5/6x-3/2
(可以知道此时的AB'距离为最短路程,那么只要找到AB'与x轴的交点,就知道x在什么情况下路程最短(该函数的最小值))
令L=0,
解得x=9/5
所以当x=9/5时
该函数有最小值
(代入得)
ymin=√63 (ymin表示y的最小值)
方法二:
(先配方得y=√[(x-3)^2+1]+√[(x+3)^+4^2])
如楼上所说的用向量做,
设有向量OA=(3-x,1),
向量OB=(x+3,4)
(因为最后要让向量OA与向量OB同向,所以让二者的纵坐标均为正(均为负也行,只要同向就行),而且要让向量OA与向量OB相加结果的模长为常数,所以将向量OA的横坐标给个负号成了3-x,而不是x-3),
那么就有y=|OA|+|OB|
根据向量的不等式
|向量a|+|向量b|>=|向量a+向量b|
(当且仅当向量a与向量b同向时取等号)
(|OA|表示向量OA的模,">="表示大于或等于)
可以得
y=|OA|+|OB|>=|向量OA+向量OB|
而
向量OA+向量OB=(6,5)
所以|向量OA+向量OB|=√(6^2+5^2)=√63
当且仅当向量OA与向量OB同向,且向量OA+向量OB为常数时取最小值且最小值为
|向量OA+向量OB|=√63
故y的最小值为
ymin=√63

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