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如图(1),Rt△AOB中,∠A=90°,∠AOB=60°,OB=2倍根号3,∠AOB的平分线OC交AB于C,过O点做与

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/15 19:00:09
如图(1),Rt△AOB中,∠A=90°,∠AOB=60°,OB=2倍根号3,∠AOB的平分线OC交AB于C,过O点做与OB垂直的直线ON.动点P从点B出发沿折线BC-CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动,运动时间为t秒,同时动点Q从点C出发沿折线CO-ON以相同的速度运动,当点P到达点O时P、Q同时停止运动.
(1)求OC、BC的长;
(2)设△CPQ的面积为S,求S与t的函数关系式;
(3)当P在OC上Q在ON上运动时,如图(2),设PQ与OA交于点M,当t为何值时,△OPM为等腰三角形?求出所有满足条件的t值.

如图(1),Rt△AOB中,∠A=90°,∠AOB=60°,OB=2倍根号3,∠AOB的平分线OC交AB于C,过O点做与
1)因为在直角三角形OAB中,∠AOB=60°
所以∠ABO=30
所以OA=OB/2=√3,由勾股定理得AB=3,
同理在直角三角形OAC中,AC=OC/2,
因为∠COB=∠CBO=30
所以OC=BC
所以AC=AB/3=1,
所以OC=2,
2)过Q作QN⊥AB,垂足为N,
依题意,得CP=2-t,CQ=t,
在直角三角形CQN中,QN=(√3/2)t
所以△CPQ面积=(1/2)*CP*CN=(1/2)*(2-t)*(√3/2)t=(-√3/4)t^2+(√3/2)t
3) 分三种情况讨论
当OP=OM时,
因为∠AOP=30°
所以∠OPM=∠OMP=75°
所以∠OQP=180-60-75=45°
过P作PK⊥OQ,垂足为Q,
在直角三角形OPK中,∠OPK=30°,OP=4-t,
所以KO=PO/2=(4-t)/2,PK=(√3/2)(4-t)
在直角三角形PQK中,∠PQO=∠QPK=45
所以PK=QK=(√3/2)(4-t)
所以由QK+KO=QO,得,
(√3/2)(4-t)+(4-t)/2=t-2
解得t=(2/3)(√3-3)
当OP=MP时,∠OMP=∠MOP=30°
所以∠OPQ=180-∠OMP-∠MOP=120°
在△OPQ中,∠OQP=180-∠OPQ-∠QOP=0
显然不能构成三角形,所以这种情况不存在
当OM=MP时,∠MOP=∠OPM=30°
所以∠OMP=180-∠QOP-∠QPO=90
所以OP=OM
即4-t=2(t-2)
解得t=8/3
所以符合条件的有两种