证明:不定方程x^2=y^5-4无整数解
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/04 23:22:21
证明:不定方程x^2=y^5-4无整数解
证明要详细,看得懂的追加
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∵奇数的乘方是奇数、偶数的乘方是偶数,∴由原方程得:x、y的奇偶性相同.······①
一、当x、y都是偶数时,令x=2a,y=2b,其中a、b都是整数.
则原方程可变成:4a^2=32b^5-4,∴a^2=8b^5-1,∴a必为奇数.
令a=2c+1,其中c为整数.
则原方程可变成:(2c+1)^2=8b^5-1,∴4c^2+4c+1=8b^5-1,
∴2c^2+2c=4b^5-1.这个方程的左边是偶数,右边是奇数,显然是错误的.
∴x、y不能同时为偶数.······②
二、当x、y都是奇数时,令x=2A+1,y=2B+1,其中A、B都是整数.
则原方程可变成:(2A+1)^2=(2B+1)^3(2B+1)^2-1,
∴4A^2+4A+1=(2B+1)^3(4B^2+4B+1)-1,
∴4A^2+4A-4(B^2+B)(2B+1)^3+2=(2B+1)^3.
这个方程的左边是偶数,右边是奇数,显然是错误的.
∴x、y不能同时为奇数.······③
由①、②、③,得:x、y不能为整数,∴原方程无整数解.
一、当x、y都是偶数时,令x=2a,y=2b,其中a、b都是整数.
则原方程可变成:4a^2=32b^5-4,∴a^2=8b^5-1,∴a必为奇数.
令a=2c+1,其中c为整数.
则原方程可变成:(2c+1)^2=8b^5-1,∴4c^2+4c+1=8b^5-1,
∴2c^2+2c=4b^5-1.这个方程的左边是偶数,右边是奇数,显然是错误的.
∴x、y不能同时为偶数.······②
二、当x、y都是奇数时,令x=2A+1,y=2B+1,其中A、B都是整数.
则原方程可变成:(2A+1)^2=(2B+1)^3(2B+1)^2-1,
∴4A^2+4A+1=(2B+1)^3(4B^2+4B+1)-1,
∴4A^2+4A-4(B^2+B)(2B+1)^3+2=(2B+1)^3.
这个方程的左边是偶数,右边是奇数,显然是错误的.
∴x、y不能同时为奇数.······③
由①、②、③,得:x、y不能为整数,∴原方程无整数解.
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