(2014•南京)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm,⊙O为△ABC的内切圆.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/02 10:34:00
(2014•南京)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm,⊙O为△ABC的内切圆.
(1)求⊙O的半径;
(2)点P从点B沿边BA向点A以1cm/s的速度匀速运动,以P为圆心,PB长为半径作圆,设点P运动的时间为t s,若⊙P与⊙O相切,求t的值.
(1)求⊙O的半径;
(2)点P从点B沿边BA向点A以1cm/s的速度匀速运动,以P为圆心,PB长为半径作圆,设点P运动的时间为t s,若⊙P与⊙O相切,求t的值.
(1)如图1,设⊙O与AB、BC、CA的切点分别为D、E、F,连接OD、OE、OF,
则AD=AF,BD=BE,CE=CF.
∵⊙O为△ABC的内切圆,
∴OF⊥AC,OE⊥BC,即∠OFC=∠OEC=90°.
∵∠C=90°,
∴四边形CEOF是矩形,
∵OE=OF,
∴四边形CEOF是正方形.
设⊙O的半径为rcm,则FC=EC=OE=rcm,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm,
∴AB=
AC2+BC2=5cm.
∵AD=AF=AC-FC=4-r,BD=BE=BC-EC=3-r,
∴4-r+3-r=5,
解得 r=1,即⊙O的半径为1cm.
(2)如图2,过点P作PG⊥BC,垂足为G.
∵∠PGB=∠C=90°,
∴PG∥AC.
∴△PBG∽△ABC,
∴
PG
AC=
BG
BC=
BP
BA.
∵BP=t,
∴PG=
AC
BA×BP=
4
5t,BG=
BC
BA×BP=
3
5t.
若⊙P与⊙O相切,则可分为两种情况,⊙P与⊙O外切,⊙P与⊙O内切.
①当⊙P与⊙O外切时,
如图3,连接OP,则OP=1+t,过点P作PH⊥OE,垂足为H.
∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°,
∴四边形PHEG是矩形,
∴HE=PG,PH=GE,
∴OH=OE-HE=1-
4
5t,PH=GE=BC-EC-BG=3-1-
3
5t=2-
3
5t.
在Rt△OPH中,
由勾股定理,(1−
4
5t)2+(2−
3
5t)2=(1+t)2,
解得 t=
2
3.
②当⊙P与⊙O内切时,
如图4,连接OP,则OP=t-1,过点O作OM⊥PG,垂足为M.
∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°,
∴四边形OEGM是矩形,
∴MG=OE,OM=EG,
∴PM=PG-MG=
4
5t−1,
OM=EG=BC-EC-BG=3-1-
3
5t=2-
3
5t,
在Rt△OPM中,
由勾股定理,(
4
5t−1)2+(2−
3
5t)2=(t−1)2,
解得 t=2.
综上所述,⊙P与⊙O相切时,t=
则AD=AF,BD=BE,CE=CF.
∵⊙O为△ABC的内切圆,
∴OF⊥AC,OE⊥BC,即∠OFC=∠OEC=90°.
∵∠C=90°,
∴四边形CEOF是矩形,
∵OE=OF,
∴四边形CEOF是正方形.
设⊙O的半径为rcm,则FC=EC=OE=rcm,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm,
∴AB=
AC2+BC2=5cm.
∵AD=AF=AC-FC=4-r,BD=BE=BC-EC=3-r,
∴4-r+3-r=5,
解得 r=1,即⊙O的半径为1cm.
(2)如图2,过点P作PG⊥BC,垂足为G.
∵∠PGB=∠C=90°,
∴PG∥AC.
∴△PBG∽△ABC,
∴
PG
AC=
BG
BC=
BP
BA.
∵BP=t,
∴PG=
AC
BA×BP=
4
5t,BG=
BC
BA×BP=
3
5t.
若⊙P与⊙O相切,则可分为两种情况,⊙P与⊙O外切,⊙P与⊙O内切.
①当⊙P与⊙O外切时,
如图3,连接OP,则OP=1+t,过点P作PH⊥OE,垂足为H.
∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°,
∴四边形PHEG是矩形,
∴HE=PG,PH=GE,
∴OH=OE-HE=1-
4
5t,PH=GE=BC-EC-BG=3-1-
3
5t=2-
3
5t.
在Rt△OPH中,
由勾股定理,(1−
4
5t)2+(2−
3
5t)2=(1+t)2,
解得 t=
2
3.
②当⊙P与⊙O内切时,
如图4,连接OP,则OP=t-1,过点O作OM⊥PG,垂足为M.
∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°,
∴四边形OEGM是矩形,
∴MG=OE,OM=EG,
∴PM=PG-MG=
4
5t−1,
OM=EG=BC-EC-BG=3-1-
3
5t=2-
3
5t,
在Rt△OPM中,
由勾股定理,(
4
5t−1)2+(2−
3
5t)2=(t−1)2,
解得 t=2.
综上所述,⊙P与⊙O相切时,t=
如图,在RT三角形abc中,∠c=90°,BC=3,AC=4,⊙o为RT三角形abc的内切圆(1)求RT△ABC的内切圆
如图,在Rt△ABC中,∠ACB==90°,AC=8cm,BC=6cm,圆O是△ABC的外接圆,∠ACB的平分线分别交圆
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如图 在Rt△ABC中 ∠ACB=90° CD是AB边上的高 AB=5cm BC=4cm AC=3cm.求△ABC的面积
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如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm.P为BC的中点,动点Q从点P出发,沿射线PC方向以
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,P为BC的中点.动点Q从点P出发,沿射线PC方
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