神马作文网证勾股定理
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/06 16:45:02
证勾股定理
您好!
各具特色的证明方法
三角学里有一个很重要的定理,我国称它为勾股定理,又叫商高定理.因为《周髀算经》提到,商高说过"勾三股四弦五"的话.下面介绍其中的几种证明.
最初的证明是分割型的.设a、b为直角三角形的直角边,c为斜边.考虑下图两个边长都是a+b的正方形A、B.将A分成六部分,将B分成五部分.由于八个小直角三角形是全等的,故从等量中减去等量,便可推出：斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和.这里B中的四边形是边长为c的正方形是因为,直角三角形三个内角和等于两个直角.如上证明方法称为相减全等证法.B图就是我国《周髀算经》中的“弦图”.
下图是H．珀里加尔（Perigal）在1873年给出的证明,它是一种相加全等证法.其实这种证明是重新发现的,因为这种划分方法,labitibn Qorra（826～901）已经知道.（如：右图）下面的一种证法,是H•E•杜登尼（Dudeney）在1917年给出的.用的也是一种相加全等的证法.
如右图所示,边长为b的正方形的面积加上边长为a的正方形的面积,等于边长为c的正方形面积.
下图的证明方法,据说是L•达•芬奇（da Vinci, 1452～1519）设计的,用的是相减全等的证明法.
欧几里得（Euclid）在他的《原本》第一卷的命题47中,给出了勾股定理的一个极其巧妙的证明,如次页上图.由于图形很美,有人称其为“修士的头巾”,也有人称其为“新娘的轿椅”,实在是有趣.华罗庚教授曾建议将此图发往宇宙,和“外星人”去交流.其证明的梗概是：
(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL.
同理,(BC)2=KEBL
所以
(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2
印度数学家兼天文学家婆什迦罗（Bhaskara,活跃于1150年前后）对勾股定理给出一种奇妙的证明,也是一种分割型的证明.如下图所示,把斜边上的正方形划分为五部分.其中四部分都是与给定的直角三角形全等的三角形；一部分为两直角边之差为边长的小正方形.很容易把这五部分重新拼凑在一起,得到两个直角边上的正方形之和.事实上,
婆什迦罗还给出了下图的一种证法.画出直角三角形斜边上的高,得两对相似三角形,从而有
c/b=b/m,
c/a=a/n,
cm=b2
cn=a2
两边相加得
a2+b2=c(m+n)=c2
这个证明,在十七世纪又由英国数学家J．沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新发现.
有几位美国总统与数学有着微妙联系.G•华盛顿曾经是一个著名的测量员.T•杰弗逊曾大力促进美国高等数学教育.A．林肯是通过研究欧几里得的《原本》来学习逻辑的.更有创造性的是第十七任总统J．A．加菲尔德（Garfield, 1831～1888）,他在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能.在1876年,（当时他是众议院议员,五年后当选为美国总统）给出了勾股定理一个漂亮的证明,曾发表于《新英格兰教育杂志》.证明的思路是,利用梯形和直角三角形面积公式.如次页图所示,是由三个直角三角形拼成的直角梯形.用不同公式,求相同的面积得
即
a2+2ab+b2=2ab+c2
a2+b2=c2
这种证法,在中学生学习几何时往往感兴趣.
关于这个定理,有许多巧妙的证法（据说有近400种）,下面向同学们介绍几种,它们都是用拼图的方法来证明的.
证法1 如图26-2,在直角三角形ABC的外侧作正方形ABDE,ACFG,BCHK,它们的面积分别为c2,b2和a2.我们只要证明大正方形面积等于两个小正方形面积之和即可.
过C引CM‖BD,交AB于L,连接BC,CE.因为
AB=AE,AC=AG ∠CAE=∠BAG,
所以 △ACE≌△AGB
SAEML=SACFG (1)
同法可证
SBLMD=SBKHC (2)
(1)+(2)得
SABDE=SACFG+SBKHC,
即 c2=a2+b2
证法2 如图26-3（赵君卿图）,用八个直角三角形ABC拼成一个大的正方形CFGH,它的边长是a+b,在它的内部有一个内接正方形ABED,它的边长为c,由图可知.
SCFGH=SABED+4×SABC,
所以 a2+b2=c2
证法3 如图26-4（梅文鼎图）.
在直角△ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE,在直角边AC上又作正方形ACGF.可以证明（从略）,延长GF必过E；延长CG到K,使GK=BC=a,连结KD,作DH⊥CF于H,则DHCK是边长为a的正方形.设
五边形ACKDE的面积=S
一方面,
S=正方形ABDE面积+2倍△ABC面积
=c2+ab (1)
另一方面,
S=正方形ACGF面积+正方形DHGK面积
+2倍△ABC面积
=b2+a2+ab. (2)
由(1),(2)得
c2=a2+b2
证法4 如图26-5（项名达图）,在直角三角形ABC的斜边上作正方形ABDE,又以直角三角形ABC的两个直角边CA,CB为基础完成一个边长为b的正方形BFGJ（图26-5）.可以证明（从略）,GF的延长线必过D.延长AG到K,使GK=a,又作EH⊥GF于H,则EKGH必为边长等于a的正方形.
设五边形EKJBD的面积为S.一方面
S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)
另一方面,
S=SBEFG+2•S△ABC+SGHFK
=b2+ab+a2
由(1),(2)
得出论证
都是用面积来进行验证：一个大的面积等于几个小面积的和.利用同一个面积的不同表示法来得到等式,从而化简得到勾股定理）图见http://ett.edaedu.com/21010000/vcm/0720ggdl.doc
勾股定理是数学上证明方法最多的定理之一——有四百多种证法!但有记载的第一个证明——毕达哥拉斯的证明方法已经失传.目前所能见到的最早的一种证法,属于古希腊数学家欧几里得.他的证法采用演绎推理的形式,记载在数学巨著《几何原本》里.在中国古代的数学家中,最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法,给出了勾股定理的详细证明.在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的.每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a,则面积为（b-a） 2 .于是便可得如下的式子： 4×（ab/2）+（b-a） 2 =c 2 化简后便可得： a 2 +b 2 =c 2 亦即：c=（a 2 +b 2 ） (1/2) 赵爽的这个证明可谓别具匠心,极富创新意识.他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系,既具严密性,又具直观性,为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范. 以下网址为赵爽的“勾股圆方图”：http://cimg.163.com/catchpic/0/01/01F9D756BE31CE31F761A75CACC1410C.gif 以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展, 只是具体图形的分合移补略有不同而已. 例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法,刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法,他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出),移到以弦为边的正方形的空白区域内(入),结果刚好填满,完全用图解法就解决了问题. 以下网址为刘徽的“青朱出入图”：http://cimg.163.com/catchpic/A/A7/A7070D771214459D67A75E8675AA4DCB.gif
勾股定理的应用非常广泛.我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载："禹治洪水决流江河,望山川之形,定高下之势,除滔天之灾,使注东海,无漫溺之患,此勾股之所系生也."这段话的意思是说：大禹为了治理洪水,使不决流江河,根据地势高低,决定水流走向,因势利导,使洪水注入海中,不再有大水漫溺的灾害,是应用勾股定理的结果.
各具特色的证明方法
三角学里有一个很重要的定理,我国称它为勾股定理,又叫商高定理.因为《周髀算经》提到,商高说过"勾三股四弦五"的话.下面介绍其中的几种证明.
最初的证明是分割型的.设a、b为直角三角形的直角边,c为斜边.考虑下图两个边长都是a+b的正方形A、B.将A分成六部分,将B分成五部分.由于八个小直角三角形是全等的,故从等量中减去等量,便可推出：斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和.这里B中的四边形是边长为c的正方形是因为,直角三角形三个内角和等于两个直角.如上证明方法称为相减全等证法.B图就是我国《周髀算经》中的“弦图”.
下图是H．珀里加尔（Perigal）在1873年给出的证明,它是一种相加全等证法.其实这种证明是重新发现的,因为这种划分方法,labitibn Qorra（826～901）已经知道.（如：右图）下面的一种证法,是H•E•杜登尼（Dudeney）在1917年给出的.用的也是一种相加全等的证法.
如右图所示,边长为b的正方形的面积加上边长为a的正方形的面积,等于边长为c的正方形面积.
下图的证明方法,据说是L•达•芬奇（da Vinci, 1452～1519）设计的,用的是相减全等的证明法.
欧几里得（Euclid）在他的《原本》第一卷的命题47中,给出了勾股定理的一个极其巧妙的证明,如次页上图.由于图形很美,有人称其为“修士的头巾”,也有人称其为“新娘的轿椅”,实在是有趣.华罗庚教授曾建议将此图发往宇宙,和“外星人”去交流.其证明的梗概是：
(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL.
同理,(BC)2=KEBL
所以
(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2
印度数学家兼天文学家婆什迦罗（Bhaskara,活跃于1150年前后）对勾股定理给出一种奇妙的证明,也是一种分割型的证明.如下图所示,把斜边上的正方形划分为五部分.其中四部分都是与给定的直角三角形全等的三角形；一部分为两直角边之差为边长的小正方形.很容易把这五部分重新拼凑在一起,得到两个直角边上的正方形之和.事实上,
婆什迦罗还给出了下图的一种证法.画出直角三角形斜边上的高,得两对相似三角形,从而有
c/b=b/m,
c/a=a/n,
cm=b2
cn=a2
两边相加得
a2+b2=c(m+n)=c2
这个证明,在十七世纪又由英国数学家J．沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新发现.
有几位美国总统与数学有着微妙联系.G•华盛顿曾经是一个著名的测量员.T•杰弗逊曾大力促进美国高等数学教育.A．林肯是通过研究欧几里得的《原本》来学习逻辑的.更有创造性的是第十七任总统J．A．加菲尔德（Garfield, 1831～1888）,他在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能.在1876年,（当时他是众议院议员,五年后当选为美国总统）给出了勾股定理一个漂亮的证明,曾发表于《新英格兰教育杂志》.证明的思路是,利用梯形和直角三角形面积公式.如次页图所示,是由三个直角三角形拼成的直角梯形.用不同公式,求相同的面积得
即
a2+2ab+b2=2ab+c2
a2+b2=c2
这种证法,在中学生学习几何时往往感兴趣.
关于这个定理,有许多巧妙的证法（据说有近400种）,下面向同学们介绍几种,它们都是用拼图的方法来证明的.
证法1 如图26-2,在直角三角形ABC的外侧作正方形ABDE,ACFG,BCHK,它们的面积分别为c2,b2和a2.我们只要证明大正方形面积等于两个小正方形面积之和即可.
过C引CM‖BD,交AB于L,连接BC,CE.因为
AB=AE,AC=AG ∠CAE=∠BAG,
所以 △ACE≌△AGB
SAEML=SACFG (1)
同法可证
SBLMD=SBKHC (2)
(1)+(2)得
SABDE=SACFG+SBKHC,
即 c2=a2+b2
证法2 如图26-3（赵君卿图）,用八个直角三角形ABC拼成一个大的正方形CFGH,它的边长是a+b,在它的内部有一个内接正方形ABED,它的边长为c,由图可知.
SCFGH=SABED+4×SABC,
所以 a2+b2=c2
证法3 如图26-4（梅文鼎图）.
在直角△ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE,在直角边AC上又作正方形ACGF.可以证明（从略）,延长GF必过E；延长CG到K,使GK=BC=a,连结KD,作DH⊥CF于H,则DHCK是边长为a的正方形.设
五边形ACKDE的面积=S
一方面,
S=正方形ABDE面积+2倍△ABC面积
=c2+ab (1)
另一方面,
S=正方形ACGF面积+正方形DHGK面积
+2倍△ABC面积
=b2+a2+ab. (2)
由(1),(2)得
c2=a2+b2
证法4 如图26-5（项名达图）,在直角三角形ABC的斜边上作正方形ABDE,又以直角三角形ABC的两个直角边CA,CB为基础完成一个边长为b的正方形BFGJ（图26-5）.可以证明（从略）,GF的延长线必过D.延长AG到K,使GK=a,又作EH⊥GF于H,则EKGH必为边长等于a的正方形.
设五边形EKJBD的面积为S.一方面
S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)
另一方面,
S=SBEFG+2•S△ABC+SGHFK
=b2+ab+a2
由(1),(2)
得出论证
都是用面积来进行验证：一个大的面积等于几个小面积的和.利用同一个面积的不同表示法来得到等式,从而化简得到勾股定理）图见http://ett.edaedu.com/21010000/vcm/0720ggdl.doc
勾股定理是数学上证明方法最多的定理之一——有四百多种证法!但有记载的第一个证明——毕达哥拉斯的证明方法已经失传.目前所能见到的最早的一种证法,属于古希腊数学家欧几里得.他的证法采用演绎推理的形式,记载在数学巨著《几何原本》里.在中国古代的数学家中,最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法,给出了勾股定理的详细证明.在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的.每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a,则面积为（b-a） 2 .于是便可得如下的式子： 4×（ab/2）+（b-a） 2 =c 2 化简后便可得： a 2 +b 2 =c 2 亦即：c=（a 2 +b 2 ） (1/2) 赵爽的这个证明可谓别具匠心,极富创新意识.他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系,既具严密性,又具直观性,为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范. 以下网址为赵爽的“勾股圆方图”：http://cimg.163.com/catchpic/0/01/01F9D756BE31CE31F761A75CACC1410C.gif 以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展, 只是具体图形的分合移补略有不同而已. 例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法,刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法,他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出),移到以弦为边的正方形的空白区域内(入),结果刚好填满,完全用图解法就解决了问题. 以下网址为刘徽的“青朱出入图”：http://cimg.163.com/catchpic/A/A7/A7070D771214459D67A75E8675AA4DCB.gif
勾股定理的应用非常广泛.我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载："禹治洪水决流江河,望山川之形,定高下之势,除滔天之灾,使注东海,无漫溺之患,此勾股之所系生也."这段话的意思是说：大禹为了治理洪水,使不决流江河,根据地势高低,决定水流走向,因势利导,使洪水注入海中,不再有大水漫溺的灾害,是应用勾股定理的结果.