在三角形abc中,BM和CN是中线,D是BC边上任一点作DE∥BM,DF∥CN,分别和AC,AB交于E,F两点,线段EF
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/01 17:42:39
在三角形abc中,BM和CN是中线,D是BC边上任一点作DE∥BM,DF∥CN,分别和AC,AB交于E,F两点,线段EF和中线BM,CN分别相交于P,Q两点,求证:EP=PQ=QE.
应该是求证:FP=PQ=QE.
[证明]
令BD=x、DC=y.
∵DF∥CN,∴BF/FN=BD/DC=x/y,∴可设BF=mx、FN=my.
∵BA=2BN,∴BA=2(BF+FN)=2m(x+y),∴BA/BF=2(x+y)/x.
∵DE∥BM,∴CE/ME=DC/BD=y/x,∴可设ME=nx、CE=ny.
∵MA=CM,∴MA=CE+EM=n(x+y),∴ME/MA=x/(x+y).
对△AFE来说,由梅内劳斯定理,有:(ME/MA)(BA/BF)(FP/PE)=1,
∴[x/(x+y)][2(x+y)/x](FP/PE)=1,∴FP/PE=1/2,∴FP/(FP+PE)=1/3,
∴FP=(1/3)FE.
显然有:CA=2MA=2n(x+y)、NA=BN=BF+FN=m(x+y).
∴CE/CA=y/[2(x+y)]、NA/NF=(x+y)/y.
对△AFE来说,再由梅内劳斯定理,有:(CE/CA)(NA/NF)(QF/QE)=1,
∴{y/[2(x+y)]}[(x+y)/y](QF/QE)=1,∴(1/2)(QF/QE)=1,
∴QE/QF=1/2,∴QE/(QE+QF)=1/3,∴QE=(1/3)FE.
∵FP=(1/3)FE、QE=(1/3)FE,∴PQ=FE-FP-QE=(1/3)FE,
∴FP=PQ=QE.
再问: 什么是梅内劳斯定理?能用初中方法解答吗?
再答: 梅内劳斯定理:
若一直线截△ABC的边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F,
则:(BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=1。
[证明]
※、相交情形1:一直线截△ABC的边BC、CA和AB的延长线于D、E、F,
过C作CG∥EF交AF的延长线于G。
显然有:BD/DC=BF/FG、CE/EA=FG/FA,
∴(BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=(BF/FG)(FG/FA)(AF/FB)=1。
其它的相交情形可类似地给出证明(此处略)。
[证明]
令BD=x、DC=y.
∵DF∥CN,∴BF/FN=BD/DC=x/y,∴可设BF=mx、FN=my.
∵BA=2BN,∴BA=2(BF+FN)=2m(x+y),∴BA/BF=2(x+y)/x.
∵DE∥BM,∴CE/ME=DC/BD=y/x,∴可设ME=nx、CE=ny.
∵MA=CM,∴MA=CE+EM=n(x+y),∴ME/MA=x/(x+y).
对△AFE来说,由梅内劳斯定理,有:(ME/MA)(BA/BF)(FP/PE)=1,
∴[x/(x+y)][2(x+y)/x](FP/PE)=1,∴FP/PE=1/2,∴FP/(FP+PE)=1/3,
∴FP=(1/3)FE.
显然有:CA=2MA=2n(x+y)、NA=BN=BF+FN=m(x+y).
∴CE/CA=y/[2(x+y)]、NA/NF=(x+y)/y.
对△AFE来说,再由梅内劳斯定理,有:(CE/CA)(NA/NF)(QF/QE)=1,
∴{y/[2(x+y)]}[(x+y)/y](QF/QE)=1,∴(1/2)(QF/QE)=1,
∴QE/QF=1/2,∴QE/(QE+QF)=1/3,∴QE=(1/3)FE.
∵FP=(1/3)FE、QE=(1/3)FE,∴PQ=FE-FP-QE=(1/3)FE,
∴FP=PQ=QE.
再问: 什么是梅内劳斯定理?能用初中方法解答吗?
再答: 梅内劳斯定理:
若一直线截△ABC的边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F,
则:(BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=1。
[证明]
※、相交情形1:一直线截△ABC的边BC、CA和AB的延长线于D、E、F,
过C作CG∥EF交AF的延长线于G。
显然有:BD/DC=BF/FG、CE/EA=FG/FA,
∴(BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=(BF/FG)(FG/FA)(AF/FB)=1。
其它的相交情形可类似地给出证明(此处略)。
相似三角形的题,在△ABC中,BM,CN是中线,D是BC边上的任一点,作DE∥BM,DF∥CN,分别和AC,AB交于E,
在三角形ABC中,M,N分别在AB,AC上,且BM=CN,D,E分别是MN,BC的中点,过点A作AP平行于DE交BC于P
在三角形ABC中 M,N等别在AB,AC上,且BM=CN,D,E分别是MN,BC的中点,过点A作AP平行于DE交BC于点
在△ABC中,M和N是AB、AC上的两点,BM=CN.D、E是MN和BC的中点,AP∥DE,AP交BC于P,求∠BAP=
如图,在△ABC中,AB>AC,在AB、AC上截取BM=CN.D、E分别为MN和BC的中点,AP平行于DE,交BC于点P
在△ABC中,M,N分别在AB,AC上,且BM=CN,D,E分别是MN,BC的中点,过A作AP∥DE,AP交BC与P.
在三角形ABC中 底边BC上的E F两点把BC三等分 BM是AC边的中线 AE AF分别交于BM于点P和点Q 请你探究B
如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线
已知:如图,在△ABC中M、N分别在AB、AC上,BM=CN,D、E分别是MN、BC的中点,AP‖DE交BC于P.求证:
在三角形ABC中,E.F是BC边上的三等分点,BM是AC上的中线,AE,AF分别与BM交于D,G.求BD:DG:GM.还
如图,在三角形ABC中,D是BC边上一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且DE=DF,EF与AD交于点O,求证AD
在三角形ABC中,D是BC的中点,MD垂直ND,MD交AB于M,ND交AC于N,求证:BM+CN大于MN