已知圆c:(x+t)^2+y^2=5(t>0)和椭圆e:x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的一个公共点为
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/30 18:31:40
已知圆c:(x+t)^2+y^2=5(t>0)和椭圆e:x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的一个公共点为B(0,2).F为椭圆E的右焦点,直线BF与圆C相切于点B.
(Ⅰ)求t值和椭圆E的方程;
(Ⅱ)圆C上是否存在点M,使△MBF为等腰三角形?若存在,求出点M的坐标.若不存在,请说明理由
(Ⅰ)求t值和椭圆E的方程;
(Ⅱ)圆C上是否存在点M,使△MBF为等腰三角形?若存在,求出点M的坐标.若不存在,请说明理由
(1)将点B(0,2)代入圆和椭圆,可求得 t=1, b=2
可得圆C方程为 (x+1)^2+y^2=5
椭圆E右焦点为F(c,0),圆C圆心为C(-1,0)
直线BF与圆C相切于点B,则有BF⊥BC,即k(BF)*k(BC)=-1
即(2-0)/(0-c)*(2-0)/(0+1)=-1 ,可解得 c=4
∴ a^2=b^2+c^2=2^2+4^2=20
∴ 椭圆E方程为 x^2/20+y^2/4=1
(2)设圆上点M(x,y),则有(x+1)^2+y^2=5
点M使△MBF为等腰三角形,则有
MB=MF, 或 FB=FM, 或 BF=BM
三点距离为:MB=√[(x-0)^2+(y-2)^2]=√[x^2+(y-2)^2]
MF=√[(x-4)^2+(y-0)^2]=√[(x-4)^2+y^2]
BF=√[(0-4)^2+(2-0)^2]=√20
若MB=MF,则有[x^2+(y-2)^2]=[(x-4)^2+y^2]
可解得 x=1, y=-1,∴点M=M(1,-1)
若FB=FM,则有[(x-4)^2+y^2]=20
可解得 x=0, y=±2,∴点M=(0,-2) (另一解M(0,2)与B(0,2)重合,舍弃)
若BF=BM,则有[x^2+(y-2)^2]=20
可解得 x=-2, y=-2,∴点M=M(-2,-2)
综上所述,共存在3个点M使△MBF为等腰三角形
分别为:M(1,-1),M(0,-2),M(-2,-2)
可得圆C方程为 (x+1)^2+y^2=5
椭圆E右焦点为F(c,0),圆C圆心为C(-1,0)
直线BF与圆C相切于点B,则有BF⊥BC,即k(BF)*k(BC)=-1
即(2-0)/(0-c)*(2-0)/(0+1)=-1 ,可解得 c=4
∴ a^2=b^2+c^2=2^2+4^2=20
∴ 椭圆E方程为 x^2/20+y^2/4=1
(2)设圆上点M(x,y),则有(x+1)^2+y^2=5
点M使△MBF为等腰三角形,则有
MB=MF, 或 FB=FM, 或 BF=BM
三点距离为:MB=√[(x-0)^2+(y-2)^2]=√[x^2+(y-2)^2]
MF=√[(x-4)^2+(y-0)^2]=√[(x-4)^2+y^2]
BF=√[(0-4)^2+(2-0)^2]=√20
若MB=MF,则有[x^2+(y-2)^2]=[(x-4)^2+y^2]
可解得 x=1, y=-1,∴点M=M(1,-1)
若FB=FM,则有[(x-4)^2+y^2]=20
可解得 x=0, y=±2,∴点M=(0,-2) (另一解M(0,2)与B(0,2)重合,舍弃)
若BF=BM,则有[x^2+(y-2)^2]=20
可解得 x=-2, y=-2,∴点M=M(-2,-2)
综上所述,共存在3个点M使△MBF为等腰三角形
分别为:M(1,-1),M(0,-2),M(-2,-2)
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