最小二乘原理线性最小二乘和非线性最小二乘的原理

最小二乘原理
线性最小二乘和非线性最小二乘的原理

设（x 1,y 1 ),(x 2,y 2),…,(x n,y n)是直角平面坐标系下给出的一组数据,若x 1<x 2<…<x n,我们也可以把这组数据看作是一个离散的函数.根据观察,如果这组数据图象“很象”一条直线（不是直线）,我们的问题是确定一条直线y = bx +a ,使得它能"最好"的反映出这组数据的变化.
最小二乘法是处理各种观测数据进行测量平差的一种基本方法.
如果以不同精度多次观测一个或多个未知量,为了求定各未知量的最可靠值,各观测量必须加改正数,使其各改正数的平方乘以观测值的权数的总和为最小.因此称最小二乘法.所谓“权”就是表示观测结果质量相对可靠程度的一种权衡值.
法国数学家勒让德于1806年首次发表最小二乘理论.事实上,德国的高斯于1794年已经应用这一理论推算了谷神星的轨道,但迟至1809年才正式发表.此后他又提出平差三角网的理论,拟定了解法方程式的方法等.为利用最小二乘法测量平差奠定了基础.
最小二乘法也是数理统计中一种常用的方法,在工业技术和其他科学研究中有广泛应用.
在我们研究两个变量(x,y)之间的相互关系时,通常可以得到一系列成对的数据(x1,y1、x2,y2...xm ,ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1),若发现这些点在一条直线附近,可以令这条直线方程如(式1-1).
Y计= a0 + a1 X (式1-1)
其中：a0、a1 是任意实数
为建立这直线方程就要确定a0和a1,应用《最小二乘法原理》,将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计= a0 + a1 X)的离差(Yi - Y计)的平方和‘〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化判据”.
令:φ = ∑(Yi - Y计)2 (式1-2)
把(式1-1)代入(式1-2)中得:
φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)
当∑(Yi-Y计)平方最小时,可用函数 φ 对a0、a1求偏导数,令这两个偏导数等于零.
(式1-4)
(式1-5) (见附图)
亦即：
m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)
(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi,Yi) (式1-7)
得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组,解这两个方程组得出：
a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8)
a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9)
这时把a0、a1代入(式1-1)中,此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型.
在回归过程中,回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1,y1、 x2,y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”,统计量“F”,剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好.
R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) ＊
在(式1-1)中,m为样本容量,即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值