最小二乘估计中线性回归方程的系数公式还有那个很扭的符号是什么意思

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/11 05:07:22

已知y与x有线性关系：y = ax + b (1)
但 a,b 未知!就可以根据x,y的 1组观测数据
x1,x2,.,xn
y1,y2,.,yn
用最小二乘法确定系数a,b完成直线拟合.
为此令误差的平方和：
Q=∑(i:1→n) [Yi-(aXi+b)]^2 (2)
取极小,即：
∂Q/∂a= -2Σ(i=1->n)[yi-(axi+b)](-xi)= 0 (3)
∂Q/∂b= -2Σ(i=1->n)[yi-(axi+b)] = 0 (4)
解出a ,b就确定了回归方程（1）.
其中：∑ 是求和的符号：含义是：∑ (i：1→n) ai = (a1+a2+...+an).
举一个最简单的例子：
就是通过原始的试验数据应用最小二乘法确定一个弹簧的倔强系数（或弹簧常数）.
为此设计一个实验：压缩弹簧3次,测得变形和受力如下表：
xi 弹簧变形(毫米) 1 2 3
yi 弹簧受力(千牛顿) 3.1 5.9 9.2
假定y与x之间成正比例关系：
y = k x (A)
构造一个误差函数：Q(k) = (y1-kx1)^2+ (y2-kx2)^2+ (y3-kx3)^2 (B)
注意(B)式中,只所含有一个未知参数,即弹簧常数k：
使误差函数Q(k)取极小值的k,就是我们要求的弹簧常数!Q(k)取极小值的条件是：
dQ / dk = 0
导出：2[(y1-kx1)(-x1)+ (y2-kx2)(-x2)+ (y3-kx3)(-x3)]=0
经整理得到：k(x1^2+x2^2+x3^2)=(x1y1+x2y2+x3y3) (C)
解出弹簧常数：k = (x1y1+x2y2+x3y3)/ (x1^2+x2^2+x3^2) (D)
代入原始数据(xi,yi)的值,
最后得到：k = 42.5/14 ≈3.0357
当有两个参数a、b时,复杂一点.

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