高等数学证明不等式设常数a>In2-1,证明:当x>0时,e^x>x^2-2ax+1证明:设f(x)=e^x-(x^2-
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/22 17:32:19
高等数学证明不等式
设常数a>In2-1,证明:当x>0时,e^x>x^2-2ax+1
证明:设f(x)=e^x-(x^2-2ax+1),则f'(x)=e^x-2x+2a,f''(x)=e^x-2.令f''(x)=0,得x=In2.
当x0.
所以f'(x)在x=In2处取到最小值,因此f'(x)>=f'(In2)=2-2In2+2a>0.于是f(x)为单调增加函数.
故当x>0时,有f(x)>f(0)=0,即e^x>x^2-2ax+1
这到题我不明白为什么当x0.
x
设常数a>In2-1,证明:当x>0时,e^x>x^2-2ax+1
证明:设f(x)=e^x-(x^2-2ax+1),则f'(x)=e^x-2x+2a,f''(x)=e^x-2.令f''(x)=0,得x=In2.
当x0.
所以f'(x)在x=In2处取到最小值,因此f'(x)>=f'(In2)=2-2In2+2a>0.于是f(x)为单调增加函数.
故当x>0时,有f(x)>f(0)=0,即e^x>x^2-2ax+1
这到题我不明白为什么当x0.
x
答案的意思是g(x)=f'(x)=e^x-2x+2a 是另外一个函数,
因为g ‘(x)=e^x-2=0 解得x=In2,说明g(x)=e^x-2x+2a 在x=In2取得极值.
当x1时是单调递增的)
说明当x>In2时,g(x)=e^x-2x+2a 单调递增.(导函数>0,原函数单调递增)
所以g(x)=e^x-2x+2a 在x=In2取得极小值,也就是g(x)≥g(ln2)=2-2ln2+2a
而由条件a>In2-1可知g(x)>0,所以f(x)=e^x-(x^2-2ax+1)为单调增加函数.
(同样,导函数>0,原函数单调递增)
因为g ‘(x)=e^x-2=0 解得x=In2,说明g(x)=e^x-2x+2a 在x=In2取得极值.
当x1时是单调递增的)
说明当x>In2时,g(x)=e^x-2x+2a 单调递增.(导函数>0,原函数单调递增)
所以g(x)=e^x-2x+2a 在x=In2取得极小值,也就是g(x)≥g(ln2)=2-2ln2+2a
而由条件a>In2-1可知g(x)>0,所以f(x)=e^x-(x^2-2ax+1)为单调增加函数.
(同样,导函数>0,原函数单调递增)
高等数学证明不等式设常数a>In2-1,证明:当x>0时,e^x>x^2-2ax+1证明:设f(x)=e^x-(x^2-
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