AD是BC边的中线,点M在AB边上,点N在AC边上,并且角MDN=90度,如果BM^2+CN^2=DM^2+DN^2,求
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/30 22:33:39
AD是BC边的中线,点M在AB边上,点N在AC边上,并且角MDN=90度,如果BM^2+CN^2=DM^2+DN^2,求证AD^2= 1/4*(AB^2+AC^2)
此题主要是勾股定理及其逆定理和全等三角形的有关知识的应用.要作比较复杂的辅助线,只要作好辅助线,也不难证明.
延长ND到E使得DE=DN,
根据D是BC的中点,DE=DN,可证△BED全等于△CND(SAS)
得∠DBE=∠C,BE=CN.
因为∠MDN=90°
所以∠MDE=90°
所以DM^2+DN^2=DM^2+DE^2=ME^2
因为BM^2+CN^2=DM^2+DN^2
所以BM^2+BE^2=BM^2+CN^2=DM^2+DN^2=DM^2+DE^2=ME^2
即BM^2+BE^2=ME^2
所以∠MBE=90°
所以∠MBD+∠DBE=90°
所以∠MBD+∠C=90°
因为∠BAC+∠MBD+∠C=90°
所以∠BAC=90°
所以 AB^2+AC^2=BC^2,BC=2AD(在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半)
所以AB^2+AC^2=(2AD)^2=4AD^2
即AD^2=1/4(AB^2+AC^2)
证明:延长AD到E,使AD=DE,连结BE,延长ND交BE于点F,连结MF,MN.
(证明思路:由勾股定理得:DM^2+DN^2=MN^2,证到MN=MF,由BM^2+CN^2=DM^2+DN^2得到BM^2+CN^2=MF^2,容易证到CN=BF,利用勾股定理的逆定理从而得出
延长ND到E使得DE=DN,
根据D是BC的中点,DE=DN,可证△BED全等于△CND(SAS)
得∠DBE=∠C,BE=CN.
因为∠MDN=90°
所以∠MDE=90°
所以DM^2+DN^2=DM^2+DE^2=ME^2
因为BM^2+CN^2=DM^2+DN^2
所以BM^2+BE^2=BM^2+CN^2=DM^2+DN^2=DM^2+DE^2=ME^2
即BM^2+BE^2=ME^2
所以∠MBE=90°
所以∠MBD+∠DBE=90°
所以∠MBD+∠C=90°
因为∠BAC+∠MBD+∠C=90°
所以∠BAC=90°
所以 AB^2+AC^2=BC^2,BC=2AD(在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半)
所以AB^2+AC^2=(2AD)^2=4AD^2
即AD^2=1/4(AB^2+AC^2)
证明:延长AD到E,使AD=DE,连结BE,延长ND交BE于点F,连结MF,MN.
(证明思路:由勾股定理得:DM^2+DN^2=MN^2,证到MN=MF,由BM^2+CN^2=DM^2+DN^2得到BM^2+CN^2=MF^2,容易证到CN=BF,利用勾股定理的逆定理从而得出
如图,在三角形ABC中,AD是边BC上的中线,点M在AB边上,点N在AC边上,并且角MDN=90度,如果BM^2+CN^
三角形ABC中,AD是BC边上的中线,M是AD的中点,BM延长线交AC于N,求证:AN=2份之一CN
如图:M、N分别是ΔABC中AB、BC边上的点,且AM:BM=3:2,CN:BN=4:5,MN与中线相交于点O,求DO:
M、N分别是三角形ABC中AB、BC边上的点,且AM/BM=3/2,CN/BN=4/5,MN与中线BD相交于点O,求DO
D为Rt三角形ABC的斜边BC的中点,M、N分别在AB,AC的边上,且角MDN=90度,求证:BM平方+CN平方=MN平
如图,D为等腰Rt△ABC的斜边BC的中点,M,N分别在AB.AC边上,角MDN=90°,求证:BM的平方+CN的平方=
在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,交BC边与点D,BC=2AC
△ABC中,M、N分别为AB、BC边上的点,且AM:BM=5:4,CN:BN=2:3,MN交中线BD于点P,求PD:PB
在△ABC中,∠ABC=90°,AC=BC,点D为AB中点M、N分别在BC、AC上且BM=CN求证DM=DN和判断△DM
如图,D为Rt△ABC的斜边BC的中点,M,N分别在AB,AC边上,且∠MDN=90°,求证:BM²+CN&s
如图,M、N分别为三角形ABC中AB、BC边上的点,且AM/BM=3/2,CN/BN=4/5,MN与中线BD相交于点O,
在△ABC中,AD是BC边上的中线,M是AD上的一点,AM=2DM,AM=3,BM=4,CM=5,求△ABC的面积