证明： log以π为底2的对数分之一+log以π为底5的对数分之一﹥2

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/09/24 01:25:22

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原式子通过换底公式可得
(lnπ/ln2) + (lnπ/ln5) > 2
[(1/ln2) + (1/ln5)]/2 > 1/lnπ
2<π<5

由此可以看出,这个结论实际上就是要证明函数f(x)=1/lnx是一个下凸函数（凹函数）.
证明的方法就是其二阶导数要在该区间上小于零
f(x) = 1/lnx
f'(x) = -1/[x(lnx)²]
f''(x) = -[(lnx)²+2xlnx(1/x)]/[x(lnx)²]² = -[(lnx)²+2lnx]/[x(lnx)²]²
x∈[1,﹢∞]时,lnx>0
因此,f''(x)在x∈[1,﹢∞]上是恒小于零的,即f(x)在[1,﹢∞]是严格的下凸函数,故有
[(1/ln2) + (1/ln5)]/2 > lnπ成立
则原命题成立.

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再问：非常感谢你，我是一个高中生，能不能帮忙用一些可以接受的方法解决这个问题，我不了解有关凹函数的知识。 f(x) = 1/lnx这个函数在2到5上是减函数，而π又小于3.5，所以[(1/ln2) + (1/ln5)]/2>f（3.5）但是f（3.5）﹤f（π）。这个证法有问题
再答：换底可得 (lnπ/ln2) + (lnπ/ln5) > 2 通分移项可得 lnπ(ln2 + ln5) > 2ln2ln5 lnπln10 > ln4ln5 (1) ∵ (ln4 + ln5)² > 4ln4ln5 (均值不等式，取不到等号) ∴(ln20)² > 4ln4ln5 要证明(1)成立就需要证明 4lnπln10 > (ln20)² ∵3lnπ = lnπ³ > ln27 > ln20 且10000 > 20³ = 8000，即(10^4)^(1/3) > (20³)^(1/3) → 10^(4/3) > 20 → (4/3)ln10 > ln20 ∴ (3lnπ)[(4/3)ln10] = 4lnπln10 > (ln20)² 故而(1)式得证。

log以2为底25的对数*log以3为底16分之一的对数*log以5为底的9分之一的对数 log以5为底35的对数+2log以二分之一为底2的对数的二分之-log以5为底50分之一-log以5为底14的对数 log以5为底3分之一的对数xlog以5为底4的立方根的对数分之log以5为底根号2的对数xlog以7为底9的对数 log以4为底3的对数×log以8分之一为底4倍根号32的对数. 证明log以2为底n的对数 log以a为底2的对数+log以a为底2分之一的对数（a＞0且a≠1） log以a的m次方为底b的对数等于m分之一log以a为底b的对数么?怎样证明? 比较log以3为底π的对数和log以2为底0.8的对数的大小 log以3为底2的对数,log以2为底5的对数,log以2为底3的对数,大小关系? log以2为底25的对数乘以log以3为底4的对数乘以log以5为底9的对数 log以2为底25的对数乘log以3为底4的对数乘log以5为底9的对数=? log以2为底25的对数+log以3为底4的对数+log以5为底9的对数