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已知函数f(x)=x^2+bx+c(b,c为常数),对任意α∈R,恒有f(sinα)≥0,且f(2+cosα)≤0

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/21 15:49:10
已知函数f(x)=x^2+bx+c(b,c为常数),对任意α∈R,恒有f(sinα)≥0,且f(2+cosα)≤0
(1)求f(1)的值(2)求证:c≥3,若f(sinα)的最大值为8,求f(x)的表达式
已知函数f(x)=x^2+bx+c(b,c为常数),对任意α∈R,恒有f(sinα)≥0,且f(2+cosα)≤0
1).∵ -1 ≤ sinα ≤ 1 ,α∈R
∴ f(-1) ≥0 f(1) ≥0 ……①
又∵ 1 ≤ 2+cosα ≤ 3 ,α∈R
∴f(1) ≤ 0 f(3) ≤0 ……②
由①②可知,f(1) 要满足≥0的同时还必须≤0
∴f(1) =0
2)由(1)得:
f(1)=1+b+c=0
b+c=-1
f(3)=9+3b+c≤0
9+3(-1-c)+c≤0
c≥3
由f(sinα)≤8得:
sin²a+bsina+c≤8
sin²a-(1+c)sina+c≤8
当sina=-1时,1+1+c+c≤8
c≤3
∴c=3
则b=-4
∴表达式为:f(x)=x²-4x+3