(2014•夹江县二模)在△ABC中,∠A=90°,AB=8,AC=6,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/20 02:28:51
(2014•夹江县二模)在△ABC中,∠A=90°,AB=8,AC=6,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.设AM=x.
(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S;
(2)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少.
(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S;
(2)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少.
(1)∵MN∥BC,
∴△AMN∽△ABC,
∴
AM
AB=
AN
AC,即
x
8=
AN
6,解得AN=
3
4x,
∴△AMN的面积=
1
2•x•
3
4x=
3
8x2,
∵四边形AMPN是矩形,
∴S=
1
2•x•
3
4x=
3
8x2(0<x≤8);
(2)若P点在BC上时,
∵四边形AMPN是矩形,
∴O点为AP的中点,
而MN∥BC,
∴MN为△ABC的中位线,此时AM=4,
当0<x≤4时,y=S=
1
2•x•
3
4x=
3
8x2,此时x=4,y的最大值为6;
当4<x≤8时,PM与PN分别交BC于E、F,如图,
y=S梯形MEFN=S△PMN-S△PEF,
∵四边形AMPN是矩形,
∴PN=AM=x,
∵MN∥BC,
∴四边形BFNM是平行四边形,
∴FN=BM=8-x,PF=PN-FN=x-(8-x)=2x-8,
∵Rt△PEF∽Rt△ACB,
∴
S△PEF
S△ABC=(
PF
AB)2=(
2x−8
8)2,
而S△ABC=
1
2×8×6=24,
∴S△PEF=
3
2(x-4)2,
∴y=
3
8x2-
3
2(x-4)2
=-
9
8x2+12x-24,
=-
9
8(x-
16
3)2+8(4<x≤8),
∵a=-
9
8<0,
∴当x=
∴△AMN∽△ABC,
∴
AM
AB=
AN
AC,即
x
8=
AN
6,解得AN=
3
4x,
∴△AMN的面积=
1
2•x•
3
4x=
3
8x2,
∵四边形AMPN是矩形,
∴S=
1
2•x•
3
4x=
3
8x2(0<x≤8);
(2)若P点在BC上时,
∵四边形AMPN是矩形,
∴O点为AP的中点,
而MN∥BC,
∴MN为△ABC的中位线,此时AM=4,
当0<x≤4时,y=S=
1
2•x•
3
4x=
3
8x2,此时x=4,y的最大值为6;
当4<x≤8时,PM与PN分别交BC于E、F,如图,
y=S梯形MEFN=S△PMN-S△PEF,
∵四边形AMPN是矩形,
∴PN=AM=x,
∵MN∥BC,
∴四边形BFNM是平行四边形,
∴FN=BM=8-x,PF=PN-FN=x-(8-x)=2x-8,
∵Rt△PEF∽Rt△ACB,
∴
S△PEF
S△ABC=(
PF
AB)2=(
2x−8
8)2,
而S△ABC=
1
2×8×6=24,
∴S△PEF=
3
2(x-4)2,
∴y=
3
8x2-
3
2(x-4)2
=-
9
8x2+12x-24,
=-
9
8(x-
16
3)2+8(4<x≤8),
∵a=-
9
8<0,
∴当x=
如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3、M是AB上的动点【不与A、B重合】、过点M作MN∥BC交AC于点N
在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,M是BC的中点,P为线段AB上的一个动点(可以与A、B重合),并作∠MP
如图,在三角形ABC中,角A=90度,AB=4,AC=3,M是边AB上的一个动点(M不与A、B),MN//BC交AC于点
(2013•扬州一模)在△ABC中,∠A=90°,BC=10,tan∠ABC=3:4,M是AB上的动点(不与A,B重合)
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已知在等腰三角型ABC中,AB=BC=4,AC=6,D为AC中点,E是BC上的动点(不与B、C重合),连结DE,过D点作
如图,在三角形ABC中,∠C=90°,P是AB上一点,且点P与点A不重合,过点P作PE⊥AB,若AB=10,AC=8,设
初三几何题△abc为等边△,ab=6,p是ab上一个动点(与a,b不重合),过点p作ab的垂线与bc相交于点d,以点d为
如图,在等边△ABC中,AB=2,点P是AB边上的任意一点(点P可以与点A重合,但不与点B重合)过点P作PE⊥BC,垂足
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