设a为常数,a∈R,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/26 05:21:30
设a为常数,a∈R,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R.
(1)若函数f(x)是偶函数,求实数a的值;
(2)求函数f(x)的最小值.
(1)若函数f(x)是偶函数,求实数a的值;
(2)求函数f(x)的最小值.
(1)∵函数f(x)为偶函数,∴对任意的x∈R都有f(-x)=f(x),
即(-x)2+|-x-a|+1=x2+|x-a|+1,对任意的x∈R都有|x+a|=|x-a|,
也就是(x+a)2=(x-a)2对任意的x∈R成立,故4ax=0恒成立,可得a=0.
(2)①当x≤a时,f(x)=x2−x+(1+a)=(x−
1
2)2+(
3
4+a).
若a≤
1
2,则函数f(x)在(-∞,a]上单调递减.
所以函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1.
若a>
1
2,则函数f(x)在(−∞,
1
2]上单调递减,在(
1
2,a]上单调递增.
所以函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(
1
2)=
3
4+a.
②当x>a时,f(x)=x2+x+(1−a)=(x+
1
2)2+(
3
4−a).
若a≤−
1
2,则函数f(x)在[a,−
1
2]上单调递减,在(−
1
2,+∞)单调递增.
所以函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(−
1
2)=
3
4−a.
若a>−
1
2,则函数f(x)在[a,+∞)单调递增.
所以函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.
综上所述,可得
当a≤−
1
2时,函数f(x)的最小值是
3
4−a;当−
1
2<a≤
1
2时,函数f(x)的最小值是a2+1;
当a>
1
2时,函数f(x)的最小值是
3
4+a.
即(-x)2+|-x-a|+1=x2+|x-a|+1,对任意的x∈R都有|x+a|=|x-a|,
也就是(x+a)2=(x-a)2对任意的x∈R成立,故4ax=0恒成立,可得a=0.
(2)①当x≤a时,f(x)=x2−x+(1+a)=(x−
1
2)2+(
3
4+a).
若a≤
1
2,则函数f(x)在(-∞,a]上单调递减.
所以函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1.
若a>
1
2,则函数f(x)在(−∞,
1
2]上单调递减,在(
1
2,a]上单调递增.
所以函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(
1
2)=
3
4+a.
②当x>a时,f(x)=x2+x+(1−a)=(x+
1
2)2+(
3
4−a).
若a≤−
1
2,则函数f(x)在[a,−
1
2]上单调递减,在(−
1
2,+∞)单调递增.
所以函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(−
1
2)=
3
4−a.
若a>−
1
2,则函数f(x)在[a,+∞)单调递增.
所以函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.
综上所述,可得
当a≤−
1
2时,函数f(x)的最小值是
3
4−a;当−
1
2<a≤
1
2时,函数f(x)的最小值是a2+1;
当a>
1
2时,函数f(x)的最小值是
3
4+a.
设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R
设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R求f(x)最小值
设函数f(x)=ax+1/x^2(x≠0,常数a∈R)
设x∈R,a为非零常数,且f(x+a)=[1+f(x)]/[1-f(x)],则函数必有一周期为?
设a为实数,函数f(x)=x^2+|x-a|+1,x∈R
设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,试讨论f(x)的奇偶性,并求f(x)的最小值.
设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f(x)与y=
设a∈R,函数f(x)=ax3-3x2.
已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,(x∈R).
已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R.
已知函数f(x)=x2+3x|x-a|,其中a∈R.
函数f(x)=x²+a/x,(,常数a∈R) f((X)在[1,+∞)为增函数 求a范围