设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0.f(x)在[0,1]上的最小值是-1,试证至少存在一点ξ∈(
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/24 16:27:04
设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f(1)=0.f(x)在[0,1]上的最小值是-1,试证至少存在一点ξ∈(0,1),使f″(ξ)≥8.
证明:设f(x)在点x0处取得极小值,即f(x0)=-1,则f′(x0)=0
由题意,f(x)在[0,x0]和[x0,1]都满足拉格朗日中值定理的条件
∴分别至少存在点ξ1∈(0,x0)和ξ2∈(x0,1),使得
f(x0)−f(0)
x0=f′(ξ1),
f(1)−f(x0)
1−x0=f′(ξ2)
而f(0)=f(1)=0
∴f′(ξ1)=−
1
x0,f′(ξ2)=
1
1−x0
又由f(x)在[0,1]上二阶可导
∴f′(x)在[ξ1,ξ2]上也满足拉格朗日中值定理
即至少存在点ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(0,1),使得
f′(ξ2)−f′(ξ1)
ξ2−ξ1=f″(ξ)
∴f″(ξ)=
1
x0(1−x0)•
1
ξ2−ξ1
而x0(1−x0)=−(x0−
1
2)2+
1
4≤
1
4
ξ2-ξ1≤
1
2
∴f″(ξ)≥4•2=8
得证
由题意,f(x)在[0,x0]和[x0,1]都满足拉格朗日中值定理的条件
∴分别至少存在点ξ1∈(0,x0)和ξ2∈(x0,1),使得
f(x0)−f(0)
x0=f′(ξ1),
f(1)−f(x0)
1−x0=f′(ξ2)
而f(0)=f(1)=0
∴f′(ξ1)=−
1
x0,f′(ξ2)=
1
1−x0
又由f(x)在[0,1]上二阶可导
∴f′(x)在[ξ1,ξ2]上也满足拉格朗日中值定理
即至少存在点ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(0,1),使得
f′(ξ2)−f′(ξ1)
ξ2−ξ1=f″(ξ)
∴f″(ξ)=
1
x0(1−x0)•
1
ξ2−ξ1
而x0(1−x0)=−(x0−
1
2)2+
1
4≤
1
4
ξ2-ξ1≤
1
2
∴f″(ξ)≥4•2=8
得证
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导且f(0)=f(1)=0,f(12)=1,试证明至少存在一点ξ∈(0
高数证明题设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且f(1)=0,试ξ证:至少存在一点ξ∈(0,1),使f'(
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,证明:至少存在一点ξ∈(0,1),使得f
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0,试证明至少存在一点ζ∈(0,1),使f′(ζ)=-2f
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0,证明在(0,1)内至少存在一点&,
设f(x)在【0,1】上连续,(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=1,证明:在(0,1)内至少存在一点ξ,使f(ξ)
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0 证明至少存在一点g∈(0,1)使得f’(g)=- 2f
设f(x)在[0,1]上具有一阶连续导数,f(0)=0,证明至少存在一点ξ∈[0,1]使f(ξ)的导数=2∫(0,1)f
设函数f(x)在[0,1]上可导,且满足f(1)=0,求证:在(0,1)内至少存在一点ξ,使f′(ξ)=-f(ξ)ξ
设f(x)在【0,1】上连续,在(0,1)可导,且f(1)=0,证明至少存在一点a,a属于(0,1),使得f ' (x)
证明:若f(x)有二阶导数,且f(0)=f(1)=0,f(x)/x→0(x→0),则在(0,1)内至少存在一点ξ,使f'
设函数f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且f(2)=0,F(x)=(x-1)f(x) 证明:至少存在一点ξ