在△ABC中,求证sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)>=3/2
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/22 23:33:31
在△ABC中,求证sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)>=3/2
证明:
先用正弦定理.将角度化成边:
sin(A+B)/(sinA+sinB)+sin(B+C)/(sinB+sinC)+sin(C+A)/(sinC+sinA)
=sinc/(sinA+sinB)+sina/(sinB+sinC)+sinb/(sinC+sinA)
=1/(sina/sinc)+(sinb/sinc)+1/(sinb/sina)+(sinc/sina)+1/(sinc/sinb)+(sinc/sinb)
=c/(a+b)+a/(b+c)+b/(a+c)
因此只要证明:
c/(a+b)+a/(b+c)+b/(a+c)>=3/2即可!
要证a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b) >=3/2
只要证2[a(a+c)(a+b)+b(b+c)(a+b)+c(a+c)(b+c)]-3(a+b)(a+c)(b+c)>=0
故2[a(a+c)(a+b)+b(b+c)(a+b)+c(a+c)(b+c)]-3(a+b)(a+c)(b+c)=2(a^3+abc+a^2b+a^2c+b^3+ab^2+cb^2+abc+c^3+abc+c^2a+c^2b)-3(a^2b+a^2c+abc+ac^2+b^2a+abc+b^2c+bc^2)=2a^3+2b^3+2c^3-a^2b-a^2c-ab^2-cb^2-ac^2-bc^2=a^2(a-b)+a^2(a-c)+b^2(b-c)+b^2(b-a)+c^2(c-a)+c^2(c-b)=(a-b)^2(a+b)+(a-c)^2(a+c)+(b-c)^2(b+c)
由设a,b,c均为正数
所以(a-b)^2(a+b)+(a-c)^2(a+c)+(b-c)^2(b+c)>=0
综上可知a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b) >=3/2
先用正弦定理.将角度化成边:
sin(A+B)/(sinA+sinB)+sin(B+C)/(sinB+sinC)+sin(C+A)/(sinC+sinA)
=sinc/(sinA+sinB)+sina/(sinB+sinC)+sinb/(sinC+sinA)
=1/(sina/sinc)+(sinb/sinc)+1/(sinb/sina)+(sinc/sina)+1/(sinc/sinb)+(sinc/sinb)
=c/(a+b)+a/(b+c)+b/(a+c)
因此只要证明:
c/(a+b)+a/(b+c)+b/(a+c)>=3/2即可!
要证a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b) >=3/2
只要证2[a(a+c)(a+b)+b(b+c)(a+b)+c(a+c)(b+c)]-3(a+b)(a+c)(b+c)>=0
故2[a(a+c)(a+b)+b(b+c)(a+b)+c(a+c)(b+c)]-3(a+b)(a+c)(b+c)=2(a^3+abc+a^2b+a^2c+b^3+ab^2+cb^2+abc+c^3+abc+c^2a+c^2b)-3(a^2b+a^2c+abc+ac^2+b^2a+abc+b^2c+bc^2)=2a^3+2b^3+2c^3-a^2b-a^2c-ab^2-cb^2-ac^2-bc^2=a^2(a-b)+a^2(a-c)+b^2(b-c)+b^2(b-a)+c^2(c-a)+c^2(c-b)=(a-b)^2(a+b)+(a-c)^2(a+c)+(b-c)^2(b+c)
由设a,b,c均为正数
所以(a-b)^2(a+b)+(a-c)^2(a+c)+(b-c)^2(b+c)>=0
综上可知a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b) >=3/2
求证数学题,在三角形ABC中,求证sin^2(A)+sin^2(B)+sin^2(C)
在三角形ABC中,已知sin^2A+sin^2B=sin^2C,求证:三角形ABC为直角三角形.
sin^2A+sin^2B=sin^2C求证△ABC的形状
在三角形ABC中,sin^2A+sin^2B = sin^C,求证:三角形直直角三角形
在△ABC中,求证:sin^2A+sin^2B+cos^2C+2sinAsinBcos(A+B)=1
在三角形ABC中sin^A+sin^B=2sin^C,则角C为?
在三角形ABC中,sin*2A+sin*2B=sin*2C
在三角形ABC 中,若sin A:sin B:sin C=3:2:4,则cos C的值
在Rt△ABC中,角C=90°,求证sin^2A+sin^2B=1,并利用上式求sin^21°+sin^22°+sin^
在三角形ABC中 求证:(a^2-b^2)/c^2=(sin(A-B)/sinC
在三角形ABC中,已知sin^2A=sin^C+sin^B+根号3sin^Csin^B,则角A的值是
在三角形ABC中,若sin^2A=sin^2B+sin^2C,则三角形ABC的形状