已知AD、BE是三角形ABC的两条中线,AD和BE相交于G,F在BE上 ,且AF/AB=EF/BF,AB=5,AC=8,
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/08 13:31:47
已知AD、BE是三角形ABC的两条中线,AD和BE相交于G,F在BE上 ,且AF/AB=EF/BF,AB=5,AC=8,BE=6,求FG的长
图也作出来了,经过反复的试解,发现题设条件有问题:AF/AB=EF/BF,与所求FG挂不上,即于解题无助.如果改为:AE:AB=EF:BF,就可解了.
现在求解如下:
由题设知:AE=EC=1/2AC=4;
在△ ABE中利用余弦定理求角A:
comA=(AB^2+AE^2-BE^2)/2*AB*AE
=(5^2+4^2-6^2)/2*5*4=5/40=1/8
故,角A=arccom(1/8)=82.82度
又,sinA=根号(1-con^2A=根号63/8=3根号7/8
在△ABC中应用余弦定理求BC:
BC^2=AB^2+AC^2-2*AB*AC*conA
=25+64-2*5*8*(1/8)=79
故BC=根号79=8.9
在△ABC中应用正弦定理求B角:
conB=(AB^2+BC^2-AC^2)/2*AB*BC
=(26+79-64)/2*5*8.9=0.4499
故 B=arccon(0.4499)=63.26度
角C=180-A-B=180-82.82-63.26=33.92度
在△ADC中应用余弦定理求AD:
AD^2=AC^2+DC^2-AC*DC*conC
=8^2+(8.9/2)^2-2*8*4.5*con33.92
=64+20.25-72*0.8298=24.5
故AD=根号24.5=4.95=5 (约)
在△ABE中应用正弦定理角ABE:
BE/sinA=AE/sinABE
sinABE=AE*sinA/BE=(4*0.9922)/6=0.6614
故 角ABE=arcsin(0.6614)=41.40度
应G点为两中线的交点,即三角形的重心.
故 AG=(2/3)AD=10/3;BG=(2/3)BE=4
在△AGB中应用正弦定理求角BAG:
AG/sinABE=BG/sinBAG
sinBAG=BG*sinABE/AG=1.2*0.6614=0.7937
故 角BAG= arcsin(0.7937)=52.53度
应 角DBG=角B-角ABE=63.26-41.40=21.86度
在△BGD中应用正弦定理求角BGD:
BD/sinBGD=GD/sinDBG
故 sinBGD=BD*sinDBG/GD=3*8.9*0.3723/10=0.9941
角BGD=arcsin(0.9941)=83.77度
因 AE/AB=EF/BF (原AF/AB=EF/BF)
故 AF为角A的平分线 (角平分线性质)
故 角BAF=角FAE=1/2A=82.82/2=41.41 度
故 角FAG=角BAG-角BAF=52.53-41.41=11.12度
因 角BGD=角FAG+角AFG (三角形外角=不相邻两角之和)
故 角AFG=角BGD-角FAG=83.77-11.12=72.65度
在△GAF中应用正弦定理求FG:
AG/sinAFG=FG/sinFAG
故 FG=[(10/3)sinFAG]/sinAFG
=0.67 (长度单位)
答:所求FG=0.67 (长度单位)
现在求解如下:
由题设知:AE=EC=1/2AC=4;
在△ ABE中利用余弦定理求角A:
comA=(AB^2+AE^2-BE^2)/2*AB*AE
=(5^2+4^2-6^2)/2*5*4=5/40=1/8
故,角A=arccom(1/8)=82.82度
又,sinA=根号(1-con^2A=根号63/8=3根号7/8
在△ABC中应用余弦定理求BC:
BC^2=AB^2+AC^2-2*AB*AC*conA
=25+64-2*5*8*(1/8)=79
故BC=根号79=8.9
在△ABC中应用正弦定理求B角:
conB=(AB^2+BC^2-AC^2)/2*AB*BC
=(26+79-64)/2*5*8.9=0.4499
故 B=arccon(0.4499)=63.26度
角C=180-A-B=180-82.82-63.26=33.92度
在△ADC中应用余弦定理求AD:
AD^2=AC^2+DC^2-AC*DC*conC
=8^2+(8.9/2)^2-2*8*4.5*con33.92
=64+20.25-72*0.8298=24.5
故AD=根号24.5=4.95=5 (约)
在△ABE中应用正弦定理角ABE:
BE/sinA=AE/sinABE
sinABE=AE*sinA/BE=(4*0.9922)/6=0.6614
故 角ABE=arcsin(0.6614)=41.40度
应G点为两中线的交点,即三角形的重心.
故 AG=(2/3)AD=10/3;BG=(2/3)BE=4
在△AGB中应用正弦定理求角BAG:
AG/sinABE=BG/sinBAG
sinBAG=BG*sinABE/AG=1.2*0.6614=0.7937
故 角BAG= arcsin(0.7937)=52.53度
应 角DBG=角B-角ABE=63.26-41.40=21.86度
在△BGD中应用正弦定理求角BGD:
BD/sinBGD=GD/sinDBG
故 sinBGD=BD*sinDBG/GD=3*8.9*0.3723/10=0.9941
角BGD=arcsin(0.9941)=83.77度
因 AE/AB=EF/BF (原AF/AB=EF/BF)
故 AF为角A的平分线 (角平分线性质)
故 角BAF=角FAE=1/2A=82.82/2=41.41 度
故 角FAG=角BAG-角BAF=52.53-41.41=11.12度
因 角BGD=角FAG+角AFG (三角形外角=不相邻两角之和)
故 角AFG=角BGD-角FAG=83.77-11.12=72.65度
在△GAF中应用正弦定理求FG:
AG/sinAFG=FG/sinFAG
故 FG=[(10/3)sinFAG]/sinAFG
=0.67 (长度单位)
答:所求FG=0.67 (长度单位)
已知:AD是三角形ABC中线,F是AC上一点且CF=2AF连接BF交AD与点E,求证BE=3EF
如图,AD是三角形ABC的中线,E为AC上一点,连结BE交AD于F,且AE=EF,求证:BF=AC
三角形ABC AD是BC的中线 E点在AC上 BE交AD于F点 如果AE=EF 那么BF=AC
已知AD是三角形ABC的中线,过点B作射线交AD,AC于点E,F,与过点C且平行于AB的直线交于点G,求证BE^2=EF
如图,AD是三角形ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF,求证:AC=BF
如图,AD是三角形ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF,求证:AC=BF.
如图 AD为三角形ABC中线 E为AC上的一点连BE交AD于F且AE=EF求证BF=AC
△ABC中,AB=AC,AD是底边BC上高,BE是AC上中线,BE和AD相交于F,BC=10,AB=13,求BF长.
已知:在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:AF=EF.
已知AD为△ABC的中线,E为AC上一点,连接BE交AD于F,且AE=EF.求证:BF=AC.
三角形ABC BC中间是D AC间是F AD与BF相交在E 已知条件,BD=DC,BE=AC 求证:AF=EF
已知三角形ABC中,AD是BC边上的中线,BE交AD于F,E是AC上的一点,且AE=EF,求证:AC=BF.