如果f(x)在x0处是连续的,则必存在x0的一个邻域,在这个邻域中f(x)是连续的.这个结论正确吗?怎么证明?
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/25 18:18:39
如果f(x)在x0处是连续的,则必存在x0的一个邻域,在这个邻域中f(x)是连续的.这个结论正确吗?怎么证明?
这个结论是错误的.
考虑函数f(x) = x·D(x).
其中D(x)为Dirichlet函数,即当x为有理数时D(x) = 1,x为无理数时D(x) = 0.
可以证明D(x)在任意点都不连续.
由|f(x)| = |x|·D(x) ≤ |x|,可知lim{x → 0} f(x) = 0 = f(0),即f(x)在x0 = 0处连续.
但对任意x0 ≠ 0,f(x)在x0处不连续.
否则由1/x在x0处连续 (x0 ≠ 0),可得D(x) = 1/x·f(x)也在x0处连续,矛盾.
考虑函数f(x) = x·D(x).
其中D(x)为Dirichlet函数,即当x为有理数时D(x) = 1,x为无理数时D(x) = 0.
可以证明D(x)在任意点都不连续.
由|f(x)| = |x|·D(x) ≤ |x|,可知lim{x → 0} f(x) = 0 = f(0),即f(x)在x0 = 0处连续.
但对任意x0 ≠ 0,f(x)在x0处不连续.
否则由1/x在x0处连续 (x0 ≠ 0),可得D(x) = 1/x·f(x)也在x0处连续,矛盾.
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