已知f(x)={ ①(x^2-2ax)e^x,x>0②bx,x≤0,g(x)=clnx+b,且x=√2是函数y=f(x)
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/25 10:36:56
已知f(x)={ ①(x^2-2ax)e^x,x>0②bx,x≤0,g(x)=clnx+b,且x=√2是函数y=f(x)的极值点. (1)求实数a的值.(2)若方程f(x)-m=0有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.(3)若直线l是函数y=f(x)的图像在点(2,f(2))处的切线,且直线l与函数y=g(x)的图像相切于点p(x.,y.),x.∈[e^-1,e]求实数b的取值范围.
(Ⅰ)x>0时,f(x)=(x2-2ax)ex,∴f'(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex=[x2+2(1-a)x-2a]ex(1分)
由已知得,f′( 2
)=0,∴2+2 2
-2a-2 2
a=0,解得a=1.(2分)
∴f(x)=(x2-2x)ex,∴f'(x)=(x2-2)ex.
当x∈(0, 2
)时,f'(x)<0,当x∈( 2
,+∞)时,f'(x)>0.又f(0)=0,(3分)
当b=1时,f(x)在(-∞,0),( 2
,+∞)上单调递增,在(0, 2
)上单调递减.(4分)
(Ⅱ)由(1)知,当x∈(0, 2
)时,f(x)单调递减,f(x)∈((2-2 2
)e 2
,0)
当x∈( 2
,+∞)时,f(x)单调递增,f(x)∈((2-2 2
)e 2
,+∞).(2分)
要使函数y=f(x)-m有两个零点,则函数y=f(x)的图象与直线y=m有两个不同的交点.
①当b>0时,m=0或m=(2- 2
)e 2
;(3分)
②当b=0时,m∈((2-2 2
)e 2
,0);(4分)
③当b<0时,m∈((2-2 2
)e 2
,+∞)(5分)
(Ⅲ)假设存在,x>0时,f9x)=(x2-2x)ex,∴f'(x)=(x2-2)ex
∴f(2)=0,f'(2)=2e2
函数f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线l的方程为:y=2e2(x-2)(1分)
直线l与函数g(x)的图象相切于点P(m,n)m∈[e-1,e],
∴n=clnm+b,g'(x)=c
x
,所以切线l的斜率为g'(m)=c
m
所以切线l的方程为y-n=c
m
(x-m)
即l的方程为:y=c
m
x-c+b+clnm(2分)
得 c
m
=2e 2
-c+b+clnm=-4e 2
⇒ c=2e 2
m
b=c-clnm-4e 2
得b=2e2(m-mlnm-2)其中m∈[e-1,e](3分)
记h(m)=2e2(m-mlnm-2)(其中m∈[e-1,e]
∴h'(m)=2e2(1-(lnm+1))=-2e2lnm
令h'(m)=0⇒m=1(4分)
m (e-1,1) 1 (1,e)
h'(m) + 0 -
h(m) 极大值-2e2
又h(e)=-4e2,h(e-1)=4e-4e2>-4e2.
∵m∈[e-1,e],∴h(m)∈[-4e2,-2e2]
所以实数b的取值范围的集合:{b|-4e2≤b≤-2e2}(5分)
由已知得,f′( 2
)=0,∴2+2 2
-2a-2 2
a=0,解得a=1.(2分)
∴f(x)=(x2-2x)ex,∴f'(x)=(x2-2)ex.
当x∈(0, 2
)时,f'(x)<0,当x∈( 2
,+∞)时,f'(x)>0.又f(0)=0,(3分)
当b=1时,f(x)在(-∞,0),( 2
,+∞)上单调递增,在(0, 2
)上单调递减.(4分)
(Ⅱ)由(1)知,当x∈(0, 2
)时,f(x)单调递减,f(x)∈((2-2 2
)e 2
,0)
当x∈( 2
,+∞)时,f(x)单调递增,f(x)∈((2-2 2
)e 2
,+∞).(2分)
要使函数y=f(x)-m有两个零点,则函数y=f(x)的图象与直线y=m有两个不同的交点.
①当b>0时,m=0或m=(2- 2
)e 2
;(3分)
②当b=0时,m∈((2-2 2
)e 2
,0);(4分)
③当b<0时,m∈((2-2 2
)e 2
,+∞)(5分)
(Ⅲ)假设存在,x>0时,f9x)=(x2-2x)ex,∴f'(x)=(x2-2)ex
∴f(2)=0,f'(2)=2e2
函数f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线l的方程为:y=2e2(x-2)(1分)
直线l与函数g(x)的图象相切于点P(m,n)m∈[e-1,e],
∴n=clnm+b,g'(x)=c
x
,所以切线l的斜率为g'(m)=c
m
所以切线l的方程为y-n=c
m
(x-m)
即l的方程为:y=c
m
x-c+b+clnm(2分)
得 c
m
=2e 2
-c+b+clnm=-4e 2
⇒ c=2e 2
m
b=c-clnm-4e 2
得b=2e2(m-mlnm-2)其中m∈[e-1,e](3分)
记h(m)=2e2(m-mlnm-2)(其中m∈[e-1,e]
∴h'(m)=2e2(1-(lnm+1))=-2e2lnm
令h'(m)=0⇒m=1(4分)
m (e-1,1) 1 (1,e)
h'(m) + 0 -
h(m) 极大值-2e2
又h(e)=-4e2,h(e-1)=4e-4e2>-4e2.
∵m∈[e-1,e],∴h(m)∈[-4e2,-2e2]
所以实数b的取值范围的集合:{b|-4e2≤b≤-2e2}(5分)
已知x=1是函数f(x)=(x^2+ax)e^x,x>0和bx ,x
已知函数f(x)=lnx+ax2-2bx(a,b∈R),g(x)=2x−2x+1-clnx.
已知函数f(x)=x³+ax²+3bx+c(b<0),且g(x)=f(x)-2是奇函数
已知函数f(x)=ax²+2bx+1(a,b为实数),x属于R,F(x)=f(x),x>0或-f(x),x
已知函数f(x)=ax^2+bx+1(a,b为实数),x属于R,F(x)={f(x),x>0 -f(x),x
已知函数f(x)=ax^2+bx+1(a,b为实数),x€R,F(x)={f(x) (x>0).-f(x)
已知函数f(x)=x的立方+ax的平方+3bx+c(b不等于0),且g(x)=f(x)-2是奇函数.求函数f(x)的单调
已知函数f(x)=ax^3+x^2+bx(其中a、b为常数属于R),g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数
已知函数f(x)=ax^3+x^2+bx(其中常数a,b属于R),g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数
已知a,b是实数,函数f(x)=x^3+ax,g(x)=x^2+bx,f'(x)和g'(x)是f(x),g(x)的导函数
已知a,b是实数,函数f(x)=x^3+ax,g(x)=x^2+bx,f'(x)和g'(x)是f(x),g(x)的导函数
已知函数f(x)=e^x+ax^2+bx.设函数f(x)在点(t,f(t))(0