神马作文网（2012•绵阳二模）已知函数f（x）=3x-1的反函数为f-1（x），且f-1（17）=a+2
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/09/23 00:43:07
（2012•绵阳二模）已知函数f（x）=3x-1的反函数为f-1（x），且f-1（17）=a+2
（1）求a的值；
（2）若f-1（an-1）=log3n，Sn是数列{an}的前n项和，若不等式λan≤2n•Sn对任意n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．
（1）求a的值；
（2）若f-1（an-1）=log3n，Sn是数列{an}的前n项和，若不等式λan≤2n•Sn对任意n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．
（Ⅰ）令y=3x-1＞-1，则x=log3（y+1），
∴f-1（x）=log3（x+1），x＞-1．
∵f-1（17）=a+2，即log318=a+2，
解得 a=log32． （6分）
（Ⅱ）∵f-1（an-1）=log3n，
∴log3an=log3n，即an=n．
则数列{an}的前n项和Sn＝
n(n+1)
2，
要使λan−2n•Sn≤0对任意n∈N*恒成立，
即使λ≤2n-1•（n+1）对任意n∈N*恒成立．
又数列bn＝2n−1(n+1)为单调递增数列，
∴bn的最小值为b1=2，
∴λ≤2，即λ的最大值为2． （12分）
∴f-1（x）=log3（x+1），x＞-1．
∵f-1（17）=a+2，即log318=a+2，
解得 a=log32． （6分）
（Ⅱ）∵f-1（an-1）=log3n，
∴log3an=log3n，即an=n．
则数列{an}的前n项和Sn＝
n(n+1)
2，
要使λan−2n•Sn≤0对任意n∈N*恒成立，
即使λ≤2n-1•（n+1）对任意n∈N*恒成立．
又数列bn＝2n−1(n+1)为单调递增数列，
∴bn的最小值为b1=2，
∴λ≤2，即λ的最大值为2． （12分）
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