已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在[0,1]上单调递减且满足f(0)=1,f(1)=0.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/06 02:28:56
已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在[0,1]上单调递减且满足f(0)=1,f(1)=0.
(1)求a取值范围;
(2)设g(x)=f(x)-f′(x),求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值.
(1)求a取值范围;
(2)设g(x)=f(x)-f′(x),求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值.
(1)由f(0)=1,f(1)=0得c=1,a+b=-1,则f(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex,
∴f′(x)=[ax2+(a-1)x-a]ex,
由题意函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在[0,1]上单调递减可得对于任意的x∈(0,1),都有f′(x)<0
当a>0时,因为二次函数y=ax2+(a-1)x-a图象开口向上,而f′(0)=-a<0,所以只需要f′(1)=(a-1)e<0,即a<1,故有0<a<1;
当a=1时,对于任意的x∈(0,1),都有f′(x)=(x2-1)ex<0,函数符合条件;
当a=0时,对于任意的x∈(0,1),都有f′(x)=-xex<0,函数符合条件;
当a<0时,因f′(0)=-a>0函数不符合条件;
综上知,a的取值范围是0≤a≤1
(2)因为 g(x)=f(x)-f′(x)=(ax2-(a+1)x+1)ex-[ax2+(a-1)x-a]ex=(-2ax+a+1)ex,g′(x)=(-2ax-a+1)ex,
(i)当a=0时,g′(x)=ex>0,g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1,最大值是g(1)=e
(ii)当a=1时,对于任意x∈(0,1)有g′(x)=-2xex<0,则有g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=0,最大值是g(0)=2;
(iii)当0<a<1时,由g′(x)=0得x=
1−a
2a>0,
①若
1−a
2a≥1,即0<a≤
1
3时,g(x)在[0,1]上是增函数,所以g(x)在[0,1]上最大值是g(1)=(1-a)e,最小值是g(0)=1+a;
②若
1−a
2a<1,即
1
3<a<1时,g(x)在x=
1−a
2a取得最大值g(
1−a
2a)=2ae
1−a
2a,在x=0或x=1时取到最小值,
而g(0)=1+a,g(1)=(1-a)e,
则令g(0)=1+a≤g(1)=(1-a)e可得
1
3<a≤
e−1
e+1;令g(0)=1+a≥g(1)=(1-a)e可得
e−1
e+1≤a<1
综上,当
1
3<a≤
e−1
e+1时,g(x)在x=0取到最小值g(0)=1+a,
当
e−1
e+1≤a<1时,g(x)在x=1取到最小值g(1)=(1-a)e
∴f′(x)=[ax2+(a-1)x-a]ex,
由题意函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在[0,1]上单调递减可得对于任意的x∈(0,1),都有f′(x)<0
当a>0时,因为二次函数y=ax2+(a-1)x-a图象开口向上,而f′(0)=-a<0,所以只需要f′(1)=(a-1)e<0,即a<1,故有0<a<1;
当a=1时,对于任意的x∈(0,1),都有f′(x)=(x2-1)ex<0,函数符合条件;
当a=0时,对于任意的x∈(0,1),都有f′(x)=-xex<0,函数符合条件;
当a<0时,因f′(0)=-a>0函数不符合条件;
综上知,a的取值范围是0≤a≤1
(2)因为 g(x)=f(x)-f′(x)=(ax2-(a+1)x+1)ex-[ax2+(a-1)x-a]ex=(-2ax+a+1)ex,g′(x)=(-2ax-a+1)ex,
(i)当a=0时,g′(x)=ex>0,g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1,最大值是g(1)=e
(ii)当a=1时,对于任意x∈(0,1)有g′(x)=-2xex<0,则有g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=0,最大值是g(0)=2;
(iii)当0<a<1时,由g′(x)=0得x=
1−a
2a>0,
①若
1−a
2a≥1,即0<a≤
1
3时,g(x)在[0,1]上是增函数,所以g(x)在[0,1]上最大值是g(1)=(1-a)e,最小值是g(0)=1+a;
②若
1−a
2a<1,即
1
3<a<1时,g(x)在x=
1−a
2a取得最大值g(
1−a
2a)=2ae
1−a
2a,在x=0或x=1时取到最小值,
而g(0)=1+a,g(1)=(1-a)e,
则令g(0)=1+a≤g(1)=(1-a)e可得
1
3<a≤
e−1
e+1;令g(0)=1+a≥g(1)=(1-a)e可得
e−1
e+1≤a<1
综上,当
1
3<a≤
e−1
e+1时,g(x)在x=0取到最小值g(0)=1+a,
当
e−1
e+1≤a<1时,g(x)在x=1取到最小值g(1)=(1-a)e
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