神马作文网大一的线性代数：将矩阵A用两种方法对角化.（打了圈圈的那题）
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/28 11:19:33
大一的线性代数：将矩阵A用两种方法对角化.（打了圈圈的那题）
|A-λE|=
-1-λ 0 2
0 1-λ 2
2 2 -λ
c3+2c1-2c2
-1-λ 0 -2λ
0 1-λ 2λ
2 2 -λ
r1-2r3,r2+2r3
-5-λ -4 0
4 5-λ 0
2 2 -λ
= -λ[(-5-λ)(5-λ)+16]
= -λ(λ^2-9)
= -λ(λ-3)(λ+3).
所以A的特征值为 3,-3,0.
(A-3E)x=0 的基础解系为 a1=(1,2,2)^T
(A+3E)x=0 的基础解系为 a2=(2,1,-2)^T
Ax=0 的基础解系为 a3=(2,-2,1)^T
令P=(a1,a2,a3),则P可逆,且 P^-1AP=diag(3,-3,0).
将a1,a2,a3单位化得
b1=(1/3,2/3,2/3)^T
b2=(2/3,1/3,-2/3)^T
b3=(2/3,-2/3,1/3)^T
令Q=(b1,b2,b3),则Q是正交矩阵,且 Q^TAQ=diag(3,-3,0).
-1-λ 0 2
0 1-λ 2
2 2 -λ
c3+2c1-2c2
-1-λ 0 -2λ
0 1-λ 2λ
2 2 -λ
r1-2r3,r2+2r3
-5-λ -4 0
4 5-λ 0
2 2 -λ
= -λ[(-5-λ)(5-λ)+16]
= -λ(λ^2-9)
= -λ(λ-3)(λ+3).
所以A的特征值为 3,-3,0.
(A-3E)x=0 的基础解系为 a1=(1,2,2)^T
(A+3E)x=0 的基础解系为 a2=(2,1,-2)^T
Ax=0 的基础解系为 a3=(2,-2,1)^T
令P=(a1,a2,a3),则P可逆,且 P^-1AP=diag(3,-3,0).
将a1,a2,a3单位化得
b1=(1/3,2/3,2/3)^T
b2=(2/3,1/3,-2/3)^T
b3=(2/3,-2/3,1/3)^T
令Q=(b1,b2,b3),则Q是正交矩阵,且 Q^TAQ=diag(3,-3,0).