神马作文网线性代数矩阵对角化的一道题目
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/11/12 22:36:51
线性代数矩阵对角化的一道题目
设矩阵B={0,0,1;0,1,0;1,0,0},已知矩阵A相似于B,则r(2I-A)+r(I-A)等于多少?
设矩阵B={0,0,1;0,1,0;1,0,0},已知矩阵A相似于B,则r(2I-A)+r(I-A)等于多少?
B 的特征值为 1,1,-1
所以A的特征值为1,1,-1
所以 2I-A 的特征值为 1,1,3,所以 r(2I-A)=3
I-A 的特征值为 0,0,2,所以 r(I-A) = 1
所以 r(2I-A)+r(I-A) = 4.
再问： 矩阵2I-A我是通过它的行列式不等于零得到它的秩是3的，那为什么I-A的特征值是0,0,2就能得出r(I-A)=1？它的行列式为零，怎么判断它的秩啊。
再答： 因为A可对角化 所以 I-A 可对角化 而可对角化的矩阵的秩等于其非零特征值的个数 所以 r(I-A) = 1
再问： 为什么A可对角化，I-A就可以对角化？有这个性质吗？
再答： 没有 P^-1(I-A)P = P^-1IP - P^-1AP = I + diag 是对角矩阵
所以A的特征值为1,1,-1
所以 2I-A 的特征值为 1,1,3,所以 r(2I-A)=3
I-A 的特征值为 0,0,2,所以 r(I-A) = 1
所以 r(2I-A)+r(I-A) = 4.
再问： 矩阵2I-A我是通过它的行列式不等于零得到它的秩是3的，那为什么I-A的特征值是0,0,2就能得出r(I-A)=1？它的行列式为零，怎么判断它的秩啊。
再答： 因为A可对角化 所以 I-A 可对角化 而可对角化的矩阵的秩等于其非零特征值的个数 所以 r(I-A) = 1
再问： 为什么A可对角化，I-A就可以对角化？有这个性质吗？
再答： 没有 P^-1(I-A)P = P^-1IP - P^-1AP = I + diag 是对角矩阵