已知a>0,函数f(x)=ax-bx2.当0<b≤1时,讨论:对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/10 18:23:00
已知a>0,函数f(x)=ax-bx2.当0<b≤1时,讨论:对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件.
(3)解:因为a>0,0<b≤1时,对任意x∈[0,1]有f(x)=ax-bx^2≥-b≥-1,即f(x)≥-1;
f(x)≤1⇒f(1)≤1⇒a-b≤1,即a≤b+1,
又a≤b+1⇒f(x)≤(b+1)x-bx2≤1,即f(x)≤1.
所以,当a>0,0<b≤1时,对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是a≤b+1.
---
1.为什么:ax-bx^2≥-b
2.为什么对称轴大于1?
(3)解:因为a>0,0<b≤1时,对任意x∈[0,1]有f(x)=ax-bx^2≥-b≥-1,即f(x)≥-1;
f(x)≤1⇒f(1)≤1⇒a-b≤1,即a≤b+1,
又a≤b+1⇒f(x)≤(b+1)x-bx2≤1,即f(x)≤1.
所以,当a>0,0<b≤1时,对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是a≤b+1.
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1.为什么:ax-bx^2≥-b
2.为什么对称轴大于1?
1.
0≤x≤1,a>0
ax>0
ax-bx^2>-bx^2.(1)
0≤x≤1
0≤x^2≤1,b>0
0≤bx^2≤b
-bx^2≥-b
结合(1),即得 ax-bx^2≥-b
2.
这里没有对称轴的问题,函数f(x)也没有对称轴,f(x)≥-1是由刚才说明的1.推出来的.
因为 f(x)=ax-bx^2 而 ax-bx^2≥-b,-b又≥-1
再问: 请问为什么代入x=1 而不是别的数字? 如果f(1)不是峰值,怎么能代入呢? 很期待您的帮忙,我实在想不明白,谢谢了
再答: 这里用x=1代入的做法是有问题的,应该讨论f(x)在[0,1]的最大值M,而因为已经证明了 f(x)≥-1, 所以|f(x)|≤1当且仅当 f(x)≤1 当且仅当M≤1,由此得出结论来。
再问: 看不太明白,您还是没有说为什么x=1时就是最大值呢?
再答: 这道题叙述起来有点复杂了,完整的讨论应该是这样的: 前面已经证明了: 在给定条件下,f(x)≥-1 总是成立的,因此下面只要讨论 f(x)≤1 成立的条件: (1) 如果x=a/(2b)∈[0,1] , 则f(x) 当x=a/(2b)时达到最大值,而 f[a/(2b)]=a^2/(4b)=b[a/(2b)]^2≤b≤1 (2) 如果a/(2b)>1, 则 f(x) 当x=1 时达到最大值 而f(1)=a-b, 所以此时 f(x)≤1 当且仅当 a-b≤1, 即a≤b+1 现在要利用这两条综合出一个统一的f(x)≤1的充要条件来: 先来说明: a≤b+1=>|f(x)|≤1 在a≤b+1的条件下,有两种情况:(i) a/(2b)≤1, 此时由(1)知f(x)≤1 (ii) a/(2b)>1, 此时由(2)知f(x)≤1, 因此总有f(x)≤1, 因而也有 |f(x)|≤1 这就说明了 a≤b+1是|f(x)|≤1成立的充分条件。 再来说明 |f(x)|≤1=>a≤b+1 在|f(x)|≤1 当且仅当 f(x)≤1, 由(1)(2)知道,要么 a/(2b)≤1, 要么a≤b+1 而 a/(2b)≤1=>a≤2b=b+b≤b+1, 因而总有 a≤b+1 这就说明了a≤b+1是|f(x)|≤1成立的必要条件。
0≤x≤1,a>0
ax>0
ax-bx^2>-bx^2.(1)
0≤x≤1
0≤x^2≤1,b>0
0≤bx^2≤b
-bx^2≥-b
结合(1),即得 ax-bx^2≥-b
2.
这里没有对称轴的问题,函数f(x)也没有对称轴,f(x)≥-1是由刚才说明的1.推出来的.
因为 f(x)=ax-bx^2 而 ax-bx^2≥-b,-b又≥-1
再问: 请问为什么代入x=1 而不是别的数字? 如果f(1)不是峰值,怎么能代入呢? 很期待您的帮忙,我实在想不明白,谢谢了
再答: 这里用x=1代入的做法是有问题的,应该讨论f(x)在[0,1]的最大值M,而因为已经证明了 f(x)≥-1, 所以|f(x)|≤1当且仅当 f(x)≤1 当且仅当M≤1,由此得出结论来。
再问: 看不太明白,您还是没有说为什么x=1时就是最大值呢?
再答: 这道题叙述起来有点复杂了,完整的讨论应该是这样的: 前面已经证明了: 在给定条件下,f(x)≥-1 总是成立的,因此下面只要讨论 f(x)≤1 成立的条件: (1) 如果x=a/(2b)∈[0,1] , 则f(x) 当x=a/(2b)时达到最大值,而 f[a/(2b)]=a^2/(4b)=b[a/(2b)]^2≤b≤1 (2) 如果a/(2b)>1, 则 f(x) 当x=1 时达到最大值 而f(1)=a-b, 所以此时 f(x)≤1 当且仅当 a-b≤1, 即a≤b+1 现在要利用这两条综合出一个统一的f(x)≤1的充要条件来: 先来说明: a≤b+1=>|f(x)|≤1 在a≤b+1的条件下,有两种情况:(i) a/(2b)≤1, 此时由(1)知f(x)≤1 (ii) a/(2b)>1, 此时由(2)知f(x)≤1, 因此总有f(x)≤1, 因而也有 |f(x)|≤1 这就说明了 a≤b+1是|f(x)|≤1成立的充分条件。 再来说明 |f(x)|≤1=>a≤b+1 在|f(x)|≤1 当且仅当 f(x)≤1, 由(1)(2)知道,要么 a/(2b)≤1, 要么a≤b+1 而 a/(2b)≤1=>a≤2b=b+b≤b+1, 因而总有 a≤b+1 这就说明了a≤b+1是|f(x)|≤1成立的必要条件。
设a>0,函数f(x)=ax+bx2+1,b为常数.
已知a>0,函数f(x)=ax-bx的二次方当b>0时,若对任意x∈R都有f(x)≦1,证明a≦2根号b
已知a>0,函数f(x)=ax-bx的二次方,当b>0时,若对任意x∈R都有f(x)≦1,证明a≦2根号b
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