神马作文网第二问请老师用两种方法解答~~谢谢~~
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/10/01 15:18:31
第二问请老师用两种方法解答~~谢谢~~
解题思路： 第一步可以利用导数来判断函数的单调性，第二步可以利用最值来解决函数的恒成立问题
解题过程：
解：由题意的;f'(x)=1+a/x且x>=0
(1)当a=-1时，f'(x)=1+（-1）/x=（x-1)/x，f(x)=x-lnx
令f'(x)>0可得x>1,令f'(x)<0可得0<x<1所以函数f(x)在[e,e2]上为单调递增函数，当x=e函数取得最小值e-1，当x= e2 取得最大值e2-2,所以函数 的值域为[e-1,e2-2]
(2)f'(x)=1+a/x=（x+a)且x>=0又因为a<=-1所以
令f'(x)>0可得x>-a，此时函数单调递增，f'(x)<0可得0<x<-a，此时函数单调递减
方法一：（根据单调性可以画出函数的大致图像，因为没有画图软件，我不画了，你可以在草稿纸上大致画一下，有图可知，无论a的取值范围，函数的最大值可能在；两个端点取得，所以只需保证端点值满足条件即可）
因为f(e)=e+a,f(e2)=e2+2a所以得：e+a<=e-1,e2+2a<=e-1可得：a<=（e-1-e2）/2
方法二：由f(x)<=e-1可得：x+alnx<=e-1(利用参数分离）由因为e=<x<=e2所以可得：
a<=(e-1-x)/lnx恒成立,设g（x)=(e-1-x)/lnx(x>0)则g'(x)=[1-lnx-(e-1)/x]/(lnx)2又因为e=<x<=e2，所以1-lnx<0,-(e-1)/x<0,所以g'(x)<0.所以g（x)在[e,e2]上为单调递减函数，所以g（x)得最小值为g(e2)=（e-1-e2）/2所以若使a<=(e-1-x)/lnx恒成立，只需a<=（e-1-e2）/2
注：一般恒成立问题可以分离参数，但最后一般是转化为函数的最值问题
最终答案：略
解题过程：
解：由题意的;f'(x)=1+a/x且x>=0
(1)当a=-1时，f'(x)=1+（-1）/x=（x-1)/x，f(x)=x-lnx
令f'(x)>0可得x>1,令f'(x)<0可得0<x<1所以函数f(x)在[e,e2]上为单调递增函数，当x=e函数取得最小值e-1，当x= e2 取得最大值e2-2,所以函数 的值域为[e-1,e2-2]
(2)f'(x)=1+a/x=（x+a)且x>=0又因为a<=-1所以
令f'(x)>0可得x>-a，此时函数单调递增，f'(x)<0可得0<x<-a，此时函数单调递减
方法一：（根据单调性可以画出函数的大致图像，因为没有画图软件，我不画了，你可以在草稿纸上大致画一下，有图可知，无论a的取值范围，函数的最大值可能在；两个端点取得，所以只需保证端点值满足条件即可）
因为f(e)=e+a,f(e2)=e2+2a所以得：e+a<=e-1,e2+2a<=e-1可得：a<=（e-1-e2）/2
方法二：由f(x)<=e-1可得：x+alnx<=e-1(利用参数分离）由因为e=<x<=e2所以可得：
a<=(e-1-x)/lnx恒成立,设g（x)=(e-1-x)/lnx(x>0)则g'(x)=[1-lnx-(e-1)/x]/(lnx)2又因为e=<x<=e2，所以1-lnx<0,-(e-1)/x<0,所以g'(x)<0.所以g（x)在[e,e2]上为单调递减函数，所以g（x)得最小值为g(e2)=（e-1-e2）/2所以若使a<=(e-1-x)/lnx恒成立，只需a<=（e-1-e2）/2
注：一般恒成立问题可以分离参数，但最后一般是转化为函数的最值问题
最终答案：略