已知：如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=2,BC=6,AB=3．E为BC边上

已知：如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=2,BC=6,AB=3．E为BC边上

希望我的表达思路清晰,你能看得懂. （1）当F落在AC上时.如图1.先证⊿AGF≌⊿FEC,这个不难证.        FE//AB => ∠FAG=∠CFE （同位角原理）       ∠AGF=∠FEC = 90度       以上两点=>⊿AGF≌⊿FEC       AG/FE=GF/EC  （相似三角形对应边成比例）       由上式变换得FE*GF=AG*EC      BE=FE=BG=GF      所以：BE*BE=AG*EC=（AB-BG）（BC-BE）       BE*BE=（3-BE）（6-BE）=18-9BE+BE*BE       解得 BE=2    （2）这个比较难,你注意看.假设这样的直角三角形存在,那么通过平移t使B到B’,E到E’,得到如下两种可能,先看图2假设⊿B'MD为直角三角形,∠B'MD为直角,延长E'M,AD,相交于点N.B'M^2+DM^2=B'D^2  （勾股定理）     B'M^2=B'E'^2+E'M^2 (勾股定理）     DM^2=DN^2+MN^2   （勾股定理）     B'D^2=B'E^2+DE^2   (勾股定理）由上推出：    B'E^2+DE^2=B'E'^2+E'M^2+MN^2+DN^2                        (1)由图可以证  ⊿CED≌⊿CE'F' （这个不难证）   EF/EC=E'M/E'C=2/4=1/2   (相似三角形对应边成比例,）   E'M= E'C/2   EE'= t    =>   E'C=EC-EE'=4-t 由上可推出：E'M=E'C/2=2-t/2                (2)                      MF'=t/2                              (3)                      B'E=BE-BB'=2-t                 (4)                      DE=AB=3                           (5)                       B'E'=2   正方形边长           (6)                      MN=MF'+F'N=t/2+1           (7)                      DN=EE'=t                          (8)将（2)至（8） 套入上面（1）式得        （2-t）^2+3^2= 2^2+ (2-t/2)^2+ (t/2+1)^2+t^2 展开   4-4t+t^2+9=4+4-2t+(t/2)^2+(t/2)^2+t+1+t^2 化简  t^2-4t+13=9-t+(3/2)t^2             (t^2)/2+3t-4=0              t^2+6t-8=0        t1=［-6+√（6^2+4*8)］/2 ；  t2=［-6-√6^2+4*8)］/2  （韦达定理）  可知 t 必须为正数,所以t2去掉,t1=[√（6^2+4*8)-6] / 2 =( √68 - 6)/2≈(8.246-6)/2=1.123这是第一种情况,t≈1.123 第二种情况看图3 同样假设⊿B'MD为直角三角形,∠DB'M为直角,延长E'M,AD,相交于点N.B'M^2+B'D^2= DM^2 （勾股定理）     B'M^2=B'E'^2+E'M^2 (勾股定理）     DM^2=DN^2+MN^2   （勾股定理）     B'D^2=B'E^2+DE^2   (勾股定理）由上推出：    DN^2+MN^2=B'E'^2+E'M^2+B'E^2+DE^2                     (1)跟上述同样方法可得    E'M=E'C/2=(4-t)/2=2-t/2              (2)               MF'=2-ME'=2-(2-t/2)=t/2                (3)    DN=t                                           (4)               MN=1+t/2                                       (5)    B'E'=2  正方形边长                     (6)                B'E=BB'-BE=t-2                           (7)    DE=AB=3   已知条件                 （8）     将(2)至(8)套入（1）得   t^2+(1+t/2)^2=2^2+(2-t/2)^2+(t-2)^2+3^2展开 t^2+1+t+(t/2)^2=4+4-2t+(t/2)^2+t^2-4t+4+9化简 (5/4)t^2+t+1=21-6t+(5/4)t^2                         7t=20   解得                  t=20/7≈2.857终上：无论  t =1.123 或 t = 2.857  都小于当E移动到与C重合时的4距离,所以t是存在的.