(2014•江苏模拟)设函数f(x)=alnx+1x,a∈R.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/22 19:28:57
(2014•江苏模拟)设函数f(x)=alnx+
1 |
x |
函数f(x)的定义域为(0,+∞).…(1分)
(Ⅰ)由题意x>0,f′(x)=
a
x−
1
x2,…(2分)
(1)当a>0时,
由f′(x)=
a
x−
1
x2<0,
解得x<
1
a,函数f(x)的单调递减区间是(0,
1
a);
由f′(x)=
a
x−
1
x2>0,
解得x>
1
a,函数f(x)的单调递增区间是(
1
a,+∞). …(4分)
(2)当a≤0时,
由于x>0,所以f′(x)=
a
x−
1
x2<0恒成立,
函数f(x)的在区间(0,+∞)上单调递减.…(5分)
(Ⅱ)因为对于任意正实数x,不等式f(x)≥2a成立,即2a≤alnx+
1
x恒成立.
因为a>0,由(Ⅰ)可知
当x=
1
a时,函数f(x)=alnx+
1
x有最小值f(
1
a)=aln
1
a+a=a-alna.…(7分)
所以2a≤a-alna,解得0<a≤
1
e.
故所求实数a的取值范围是(0,
1
e]. …(9分)
(Ⅲ)因为f(
x1+x2
2)=aln
x1+x2
2+
2
x1+x2,
f(x1)+f(x2)
2=
1
2(alnx1+
1
x1+alnx2
(Ⅰ)由题意x>0,f′(x)=
a
x−
1
x2,…(2分)
(1)当a>0时,
由f′(x)=
a
x−
1
x2<0,
解得x<
1
a,函数f(x)的单调递减区间是(0,
1
a);
由f′(x)=
a
x−
1
x2>0,
解得x>
1
a,函数f(x)的单调递增区间是(
1
a,+∞). …(4分)
(2)当a≤0时,
由于x>0,所以f′(x)=
a
x−
1
x2<0恒成立,
函数f(x)的在区间(0,+∞)上单调递减.…(5分)
(Ⅱ)因为对于任意正实数x,不等式f(x)≥2a成立,即2a≤alnx+
1
x恒成立.
因为a>0,由(Ⅰ)可知
当x=
1
a时,函数f(x)=alnx+
1
x有最小值f(
1
a)=aln
1
a+a=a-alna.…(7分)
所以2a≤a-alna,解得0<a≤
1
e.
故所求实数a的取值范围是(0,
1
e]. …(9分)
(Ⅲ)因为f(
x1+x2
2)=aln
x1+x2
2+
2
x1+x2,
f(x1)+f(x2)
2=
1
2(alnx1+
1
x1+alnx2
(2011•江苏模拟)设函数f(x)=2x|x|+1(x∈R)
设函数f(x)=x-1/x-alnx(a∈R).讨论函数f(x)的单调性
(2014•江苏模拟)已知函数f(x)=x3+x2-ax(a∈R).
已知函数f(x)=alnx+2/(x+1) (a∈R)
已知函数f(x)=x-alnx,g(x)=−1+ax,(a∈R).
已知函数f(x)=12x2+alnx(a∈R).
已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R).
设函数f(x)=x-2/x-alnx(a∈R) (1)当a=3时,求f(x)的极值(2)讨论函数f(x)的单调性
已知函数f(x)=x-alnx,g(x)=-1+a/x,a∈R,已知函数f(x)=x-alnx,g(x)=-1+a/x,
求函数的单调区间,急f(x)=x+1/x+alnx,a∈R
(2013•惠州模拟)设函数f(x)=2cos2x+sin2x+a(a∈R).
设函数f(x)=alnx+2x/1+2/3x+1,其中a∈R,函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.(