设动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2,∠APB=2θ,若d1d2cos²θ=1(1)
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/05 00:19:36
设动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2,∠APB=2θ,若d1d2cos²θ=1(1)求动点P的轨迹C的方程(2)过点B做直线l叫轨迹C于M,N两点,交直线x=4于点E,求|EM|*|EN|的最小值 求详细过程 谢谢!
(1)
∵A(-1,0)和B(1,0)的距离分别
为d1和d2,∠APB=2θ
根据余弦定理
|AB|²=d²1+d²2-2d1d2cos2θ
∴4=d²1+d²2-2d1d2(2cos²θ-1)
=d²1+d²2+2d1d2-4d1d2cos²θ
∵d1d2cos²θ=1
∴4=d²1+d²2+2d1d2-4
∴(d1+d2)²=8
∴d1+d2=2√2>|AB|
∴P轨迹为以A,B为焦点的椭圆
其中c=1,a=√2,b²=a²-c²=1
∴动点P的轨迹C的方程
为x²/2+y²=1
(2)
依题意直线l的斜率存在,设为k
则l方程为y=k(x-1)
y=k(x-1)与x=4交于E(4,3k)
y=k(x-1)代入x²/2+y²=1
得:x²+2k²(x-1)²-2=0
即(2k²+1)x²-4k²x+2k²-2=0
Δ>0恒成立
设M(x1,y1),N(x2,y2)
则x1+x2=4k²/(2k²+1),x1x2=(2k²-2)/(2k²+1)
∴|EM|=√[(4-x1)²+(3k-y1)²]=√(1+k²)*√(4-x1)²
|EN|=√[(4-x2)²+(3k-y2)²]=√(1+k²)*√(4-x2)²
∴u=|EM||EN|=(1+k²)(4-x1)(4-x2)
=(1+k²)[16-4(x1+x2)+x1x2]
=(1+k²)[16-16k²/(2k²+1)+2(k²-1)/(2k²+1)]
=(1+k²)(18k²+14)/(2k²+1)
设2k²+1=t≥1
∴k²=(t-1)/2
∴u=1/2(t+1)(9t+5)/t
=1/2(9t²+14t+5)/t
=1/2(9t+5/t+14)
u'=1/2[9-5/t²]=1/2*(9t²-5)/t²
∵t≥1 ∴u'>0恒成立
∴t=1时,umin=14
即|EM||EN|的最小值为14
∵A(-1,0)和B(1,0)的距离分别
为d1和d2,∠APB=2θ
根据余弦定理
|AB|²=d²1+d²2-2d1d2cos2θ
∴4=d²1+d²2-2d1d2(2cos²θ-1)
=d²1+d²2+2d1d2-4d1d2cos²θ
∵d1d2cos²θ=1
∴4=d²1+d²2+2d1d2-4
∴(d1+d2)²=8
∴d1+d2=2√2>|AB|
∴P轨迹为以A,B为焦点的椭圆
其中c=1,a=√2,b²=a²-c²=1
∴动点P的轨迹C的方程
为x²/2+y²=1
(2)
依题意直线l的斜率存在,设为k
则l方程为y=k(x-1)
y=k(x-1)与x=4交于E(4,3k)
y=k(x-1)代入x²/2+y²=1
得:x²+2k²(x-1)²-2=0
即(2k²+1)x²-4k²x+2k²-2=0
Δ>0恒成立
设M(x1,y1),N(x2,y2)
则x1+x2=4k²/(2k²+1),x1x2=(2k²-2)/(2k²+1)
∴|EM|=√[(4-x1)²+(3k-y1)²]=√(1+k²)*√(4-x1)²
|EN|=√[(4-x2)²+(3k-y2)²]=√(1+k²)*√(4-x2)²
∴u=|EM||EN|=(1+k²)(4-x1)(4-x2)
=(1+k²)[16-4(x1+x2)+x1x2]
=(1+k²)[16-16k²/(2k²+1)+2(k²-1)/(2k²+1)]
=(1+k²)(18k²+14)/(2k²+1)
设2k²+1=t≥1
∴k²=(t-1)/2
∴u=1/2(t+1)(9t+5)/t
=1/2(9t²+14t+5)/t
=1/2(9t+5/t+14)
u'=1/2[9-5/t²]=1/2*(9t²-5)/t²
∵t≥1 ∴u'>0恒成立
∴t=1时,umin=14
即|EM||EN|的最小值为14
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