神马作文网一道数学的数列题!高手帮个忙...
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/30 21:26:04
一道数学的数列题!高手帮个忙...
在正项等差数列{an}和正项等比数列{bn}中,有a1=b1,a2k-1=b2k-1,则ak与bk的大小关系
在正项等差数列{an}和正项等比数列{bn}中,有a1=b1,a2k-1=b2k-1,则ak与bk的大小关系
分两种情况讨论：
一公差d=0
若{an}公差为0,那么根据a1=b1,a2k-1=b2k-1易知,an=bn,也就是说{bn}是公比为1的等比数列.
此时ak=bk.
二公差d>0.
若{an}公差为d>0,那么根据a1=b1,a2k-1=b2k-1,可得：
a1+(2k-2)d=a1q^(2k-2) (1)
而
ak=a1+(k-1)d
bk=a1q^(k-1)
所以利用上式和(1)式,有bk^2=a1^2q^(2k-2)=a1[a1+(2k-2)d]=a1^2+2a1(k-1)d
但是ak^2=[a1+(k-1)d]^2=a1^2+2a1(k-1)d+(k-1)^2d^2>=bk^2
根据上式,以及{an},{bn}是正项数列可知：
仅在k=1时,a1=b1,当k>1时,恒有ak>bk.
一公差d=0
若{an}公差为0,那么根据a1=b1,a2k-1=b2k-1易知,an=bn,也就是说{bn}是公比为1的等比数列.
此时ak=bk.
二公差d>0.
若{an}公差为d>0,那么根据a1=b1,a2k-1=b2k-1,可得：
a1+(2k-2)d=a1q^(2k-2) (1)
而
ak=a1+(k-1)d
bk=a1q^(k-1)
所以利用上式和(1)式,有bk^2=a1^2q^(2k-2)=a1[a1+(2k-2)d]=a1^2+2a1(k-1)d
但是ak^2=[a1+(k-1)d]^2=a1^2+2a1(k-1)d+(k-1)^2d^2>=bk^2
根据上式,以及{an},{bn}是正项数列可知：
仅在k=1时,a1=b1,当k>1时,恒有ak>bk.