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如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.

来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/06 18:20:41
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.
(Ⅰ)证明AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.
 
 
第二问要用传统方法解
不要用空间向量
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.

（I）过A1作A1D⊥AB交AB于D,连接CD
因AB=AA1,∠BAA1=60°
易知⊿ABA1为正三角形
则AA1=BA1
所以A1D为AB边的中线,即D为AB中点（三线合一）
又CA=CB,表明⊿ACB为等腰三角形
则CD为AB边上的高,即CD⊥AB（三线合一）
 
因AB⊥A1D,且AB⊥CD
而A1D交CD于平面A1CD
则AB⊥平面A1CD
而A1C⊂平面A1CD
所以AB⊥A1C
 
（I）连接BC1、CB1交于O,连接A1O
过A1作A1H⊥CB1交CB1于H
因CA=CB=AB=AA1（即三棱柱所有棱长相等）
易知四边形BB1C1C为菱形
则BC1⊥CB1
 
又⊿ABA1为正三角形
则A1B=AB=A1C1
由此知⊿BA1C1为等腰三角形
易知BC1⊥A1O（三线合一）
 
又CB1交A1O于平面A1CB1
则BC1⊥平面A1CB1
而A1H⊂平面A1CB1
则A1H⊥BC1
 
又A1H⊥CB1
而BC1交CB1于平面BB1C1C
则A1H⊥平面BB1C1C
由此表明∠A1CH即为A1C与平面BB1C1C所成角的平面角
 
因平面ABC⊥平面AA1B1B
且A1D⊥AB
且A1D⊂平面AA1B1B
且AB为平面ABC与平面AA1B1B的交线
则A1D⊥平面ABC
而CD⊂平面ABC
则A1D⊥CD
表明⊿A1DC为RT⊿
又易知⊿ABA1、⊿ABC均为边长相等的全等正三角形
且D为AB的中点
则A1D=CD
表明RT⊿A1DC为等腰直角三角形
在RT⊿A1DC中,易知A1D=CD=√3
则A1C=√6
 
由（I）知AB⊥A1C
而A1B1//AB
则A1B1⊥A1C
表明⊿A1CB1为RT⊿
由勾股定理知CB1=√10
又A1H⊥CB1
则易知RT⊿A1CB1∽RT⊿A1HB1
于是A1H=A1C*A1B1/CB1=2√15/5
 
在RT⊿A1CH中
由三角函数定义知sin∠A1CH=A1H/A1C=√10/5
如图三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°， 关于棱柱的性质.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=√2a,BC=CA=A1=a,A1在底面ABC上的射影O在AC上, 如图,三棱柱,ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1,与底面垂直,AB=BC=CA=4,且AA1垂直A1C,AA1=A1 如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱A A1⊥底面ABC，AB⊥BC； 如图三棱柱ABC-A1B1C1中CA=CB ,AB=AA1,∠BAA1=60,证明若平面ABC垂直 在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=根号2,BC=CA=AA1=1,A1点在底面ABC上的射影为O 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1,底面三角形ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90度,棱AA1=2,M、N分别为A 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，A A1=1，则点A到平面A1BC的距离为（　　） 如图是各棱长均为a的斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠A1AC=∠A1AB=60°．求证：三棱锥A1-ABC是正四面体． 三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1=AB=AC=a,∠BAC=90°,顶点A1在底面ABC上的射影为BC的中点M 已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=AC=a,∠BAC=90°,顶点A1在底面ABC上的射影M为BC的中点,且点M 三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=AC=a,∠BAC=90°,定点A1在底面ABC上的射影为BC边的中点M.