如图1,在平面直角坐标系中,点B在直线y＝2x上,过点B作x轴的垂线,垂足为A,OA＝5．若抛物线y＝x2＋bx＋c

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/10 23:50:29

如图1,在平面直角坐标系中,点B在直线y＝2x上,过点B作x轴的垂线,垂足为A,OA＝5．若抛物线y＝x2＋bx＋c
如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y＝2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA＝5．若抛物线y＝x2＋bx＋c过O、A两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若A点关于直线y＝2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆．过原点O作⊙O1的切线OP，P为切点(点P与点C不重合)．抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切?若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．

（1）把O（0,0）、A（5,0）分别代入y= x2+bx+c,
得 ,
解得；
∴该抛物线的解析式为y= x2- x；
（2）点C在该抛物线上．
理由：过点C作CD⊥x轴于点D,连接OC,设AC交OB于点E
∵点B在直线y=2x上,
∴B（5,10）
∵点A、C关于直线y=2x对称,
∴OB⊥AC,CE=AE,BC⊥OC,OC=OA=5,BC=BA=10
又∵AB⊥x轴,由勾股定理得OB=5
∵SRt△OAB= AE•OB= OA•OB
∴AE=2 ,∴AC=4 ；
∵∠OBA+∠CAB=90°,∠CAD+∠CAB=90°,
∴∠CAD=∠OBA；
又∵∠CDA=∠CAB=90°,
∴△CDA∽△OAB
∴ = = ；
∴CD=4,AD=8；
∴C（-3,4）
当x=-3时,y= ×9- ×（-3）=4；
∴点C在抛物线y= x2- x上；
（3）抛物线上存在点Q,使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切；
过点P作PF⊥x轴于点F,连接O1P,过点O1作O1H⊥x轴于点H；
∴CD‖O1H‖BA
∴C（-3,4）,B（5,10）
∵O1是BC的中点,
∴由平行线分线段成比例定理得AH=DH= AD=4,
∴OH=OA-AH=1,同理可得O1H=7,
∴点O1的坐标为（1,7）
∵BC⊥OC,∴OC为⊙O1的切线；
又∵OP为⊙O1的切线,
∴OC=OP=O1C=O1P=5
∴四边形OPO1C为正方形,
∴∠POF=∠OCD
又∵∠PFO=∠ODC=90°,
∴△POF≌△OCD
∴OF=CD,PF=OD,
∴P（4,3）
设直线O1P的解析式为y=kx+b（k≠0）,
把O1（1,7）、P（4,3）分别代入y=kx+b,
得 ,
解得；
∴直线O1P的解析式为y= x+ ；
若以PQ为直径的圆与⊙O1相切,则点Q为直线O1P与抛物线的交点,可设点Q的坐标为（m,n）,
则有n= m+ ,n=y= m2- m
∴ m+ = m2- m,
整理得m2+3m-50=0
解得m= ,
∴点Q的横坐标为或．