已知椭圆x^2/a^2+y^2=1(a>=2),直线l与椭圆交于A,B两点,M是线段AB的中点,连接OM并延长交椭圆与点
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/20 23:39:57
已知椭圆x^2/a^2+y^2=1(a>=2),直线l与椭圆交于A,B两点,M是线段AB的中点,连接OM并延长交椭圆与点C.
设直线AB与直线OM的斜率分别为K1,K2,且K1*K2=-0.5,求椭圆的离心率?
若直线AB经过椭圆的右焦点F,且四边形OACB是平行四边形,求直线AB的斜率的取值范围?
设直线AB与直线OM的斜率分别为K1,K2,且K1*K2=-0.5,求椭圆的离心率?
若直线AB经过椭圆的右焦点F,且四边形OACB是平行四边形,求直线AB的斜率的取值范围?
(1)、设A(x1,y1),B(x2,y2),K1=(y1-y2)/(x1-x2),
K2=(y1+y2)/(x1+x2),则:
(x1²/a²)+y1²=1
(x2²/a²)+y2²=1
用上式减下式,得:
[(x1-x2)(x1+x2)/a²]+(y1-y2)(y1+y2)=0
等式两边除以(x1-x2)(x1+x2),得到:(1/a²)+K1K2=0
由于k1k2=-0.5,解得a=√2,c=1
那么e=√2/2
(2)设直线AB方程为x=ny+c
设A、B点坐标为(x1,y1)、(x2,y2)
则
x1^2+y1^2*a^2=a^2
x2^2+y2^2*a^2=a^2
两式减
(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)*a^2=0
所以
(x1-x2)/(y1-y2)=-a^2(y1+y2)/(x1+x2)=n
又因为k(OC)=k(OM)=[(y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2]=-n/a^2
所以l(OM):nx+a^2y=0……(*)
把(*)代入椭圆方程,消去x
(a^2/n^2)y^2+y^2=1
设C点坐标为(x0,y0),则y0^2=n^2/(a^2+n^2)
那么M点纵坐标为(y0/2)=n/[2√(a^2+n^2)](平行四边形对角线平分).
联立直线AB:x=ny+c,椭圆.消x,有
(a^2+n^2)y^2+2ncy-1=0
所以(y1+y2)/2=-2nc/(a^2+n^2),这也是M点的纵坐标
所以n/[2√(a^2+n^2)]=-2nc/(a^2+n^2)
整理有n^2=4c^2-a^2=4c^2-(1+c^2)=3c^2-1
c^2=a^2-b^2=a^2-1>=4-1=3[a>=2]
所以n^2=3c^2-1>=8
故1/n^2
K2=(y1+y2)/(x1+x2),则:
(x1²/a²)+y1²=1
(x2²/a²)+y2²=1
用上式减下式,得:
[(x1-x2)(x1+x2)/a²]+(y1-y2)(y1+y2)=0
等式两边除以(x1-x2)(x1+x2),得到:(1/a²)+K1K2=0
由于k1k2=-0.5,解得a=√2,c=1
那么e=√2/2
(2)设直线AB方程为x=ny+c
设A、B点坐标为(x1,y1)、(x2,y2)
则
x1^2+y1^2*a^2=a^2
x2^2+y2^2*a^2=a^2
两式减
(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)*a^2=0
所以
(x1-x2)/(y1-y2)=-a^2(y1+y2)/(x1+x2)=n
又因为k(OC)=k(OM)=[(y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2]=-n/a^2
所以l(OM):nx+a^2y=0……(*)
把(*)代入椭圆方程,消去x
(a^2/n^2)y^2+y^2=1
设C点坐标为(x0,y0),则y0^2=n^2/(a^2+n^2)
那么M点纵坐标为(y0/2)=n/[2√(a^2+n^2)](平行四边形对角线平分).
联立直线AB:x=ny+c,椭圆.消x,有
(a^2+n^2)y^2+2ncy-1=0
所以(y1+y2)/2=-2nc/(a^2+n^2),这也是M点的纵坐标
所以n/[2√(a^2+n^2)]=-2nc/(a^2+n^2)
整理有n^2=4c^2-a^2=4c^2-(1+c^2)=3c^2-1
c^2=a^2-b^2=a^2-1>=4-1=3[a>=2]
所以n^2=3c^2-1>=8
故1/n^2
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