是否存在abc,使等式1*2^2+2*3^2+3*4^2+…+n(n+1)^2=[n(n+1)/12](a*n^2+b*
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/20 19:28:33
是否存在abc,使等式1*2^2+2*3^2+3*4^2+…+n(n+1)^2=[n(n+1)/12](a*n^2+b*n+c)对一切自然数成立
证明:
假设存在a,b,c使得等式成立,则可以令n=1,2,3,此时得方程组:
①a+b+c=24;②4a+2b+c=44;③9a+3b+c=70
联立①②③,解得:a=3;b=11;c=10
即1*2^2+2*3^2+3*4^2+……+n*(n+1)^2=[n(n+1)/12](an^2+bn+c)
下面用数学归纳法进行证明:
1.当n=1时,成立(通过前面的计算是成立的)
2.假设当n=k时,等式成立,
即Sk=1*2^2+2*3^2+3*4^2+……+k*(k+1)^2=[k(k+1)/12](3k^2+11k+10)
则当n=k+1时,
Sk+1
=Sk+(k+1)(k+2)
=[k(k+1)/12](3k^2+11k+10)+(k+1)(k+2)
=[(k+1)(k+2)/12][3(k+1)^2+11(k+1)+10]
即当n=k+1时,等式也成立
因此,当a=3,b=11,c=10 时,等式对一切自然数都成立.
假设存在a,b,c使得等式成立,则可以令n=1,2,3,此时得方程组:
①a+b+c=24;②4a+2b+c=44;③9a+3b+c=70
联立①②③,解得:a=3;b=11;c=10
即1*2^2+2*3^2+3*4^2+……+n*(n+1)^2=[n(n+1)/12](an^2+bn+c)
下面用数学归纳法进行证明:
1.当n=1时,成立(通过前面的计算是成立的)
2.假设当n=k时,等式成立,
即Sk=1*2^2+2*3^2+3*4^2+……+k*(k+1)^2=[k(k+1)/12](3k^2+11k+10)
则当n=k+1时,
Sk+1
=Sk+(k+1)(k+2)
=[k(k+1)/12](3k^2+11k+10)+(k+1)(k+2)
=[(k+1)(k+2)/12][3(k+1)^2+11(k+1)+10]
即当n=k+1时,等式也成立
因此,当a=3,b=11,c=10 时,等式对一切自然数都成立.
是否存在常数abc,使得等式1*2^2+2*3^2+.+n(n+1)^n=n(n+1)(an^2+bn+c)/12成立?
是否存在常数a、b、c,使等式1*(n^2-1^2)+2*(n^2-2^2)...+n(n^2-n^2)=an^4+bn
是否存在常数A,B使等式:1(N^2-1^2)+2(N^2-2^2)+3(N^2-3^2)+……+N(N^2-N^2)=
设an=1+1/2+1/3+...+1/n是否存在关于n的整式g(n),使得等式a1+a2+...+a(n-1)=g(n
yi ge 是否存在常数a,b使等式1^2/(1*3)+2^2/(3*5)+.+n^2/(2n-1)*(2n+1)=(a
设f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n,是否存在关于自然数N的函数g(n),使等式f(1)+f(2)+.+f(n
f(n)=1+1/2+1/3+...1/n,是否存在关于自然数n的函数g(n),使等式f(1)+f(2)+...+f(n
是否存在常数abc使得等式1^2-2^2+3^2-4^2+...+[(-1)^n-1]*n^2=[(-1)^n-1]*(
证明不等式:(1/n)^n+(2/n)^n+(3/n)^n+.+(n/n)^n
是否存在常数a,b,c,使等式1*2^2+2*3^2+.+n(n+1)^2=((n+n^2)/12)(bn+c+an^2
设f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n,是否存在于自然数n的函数g(n),使等式f(1)+f(2)+...+f(
a^(n+1)b^n-4a^(n+2)+3ab^n-12a^2