对称阵都可以表示成另一个矩阵和其转置的乘积吗,比如任意对称阵C,可以找到一个矩阵A,使得C=A'A吗
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/01 12:10:28
对称阵都可以表示成另一个矩阵和其转置的乘积吗,比如任意对称阵C,可以找到一个矩阵A,使得C=A'A吗
如何证明可以或不可以呢
如何证明可以或不可以呢
任何一个半正定矩阵A,则存在矩阵C使得
A=C'C
任何一个正定矩阵A,则存在可逆矩阵C使得
A=C'C
一般的矩阵不具有此性质.
证明也很简单,以半正定矩阵为例:
A半正定,则岑在可逆矩阵P使得A=P'DP,其中D为对角阵,且主对角线为特征值,显然都是非负的.不妨设其为D=diag(a1,a2,……,an)
则令C=diag(sqrt(a1),sqrt(a2),……,sqrt(an))P,有
A=C'C
注:
在矩阵分析中,上面的也叫做平方根分解
A=C'C
任何一个正定矩阵A,则存在可逆矩阵C使得
A=C'C
一般的矩阵不具有此性质.
证明也很简单,以半正定矩阵为例:
A半正定,则岑在可逆矩阵P使得A=P'DP,其中D为对角阵,且主对角线为特征值,显然都是非负的.不妨设其为D=diag(a1,a2,……,an)
则令C=diag(sqrt(a1),sqrt(a2),……,sqrt(an))P,有
A=C'C
注:
在矩阵分析中,上面的也叫做平方根分解
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