神马作文网线性代数概念问题选哪个,为什么?
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/10/04 07:30:38
线性代数概念问题
选哪个,为什么?
选哪个,为什么?
已知的概念与结论：
两个向量组等价指的是两个向量组可以相互线性表示.
如果向量组I可以由向量组II线性表示,则向量组I的秩≤向量组II的秩.
－－－－－－
（A）这个是充分条件,不是必要条件.反例：对标准的3维单位向量组e1,e2,e3,向量组e1,e2的秩是2,e1,e2不能由e2,e3线性表示,但是向量组e2,e3的秩也是2.
（B）这个既不是充分条件也不是必要条件.能得到的结论是向量组β1,β2,...,βm的秩≤m,秩未必等于m.反例：向量组e1,e2的秩是2,向量组e1,2e1可以由向量组e1,e2线性表示,但是向量组e1,2e1的秩是1.
（C）这个是充分条件,不是必要条件.等价的向量组等秩,反之不一定成立.比如向量组e1,e2与e2,e3,秩相等,但不等价.
（D）其他几个是错的,这个就应该是正确的了.
两个矩阵等价,指的是一个矩阵经过若干次初等变换可以化成另一个矩阵.
若A与B等价,则存在n阶可逆矩阵P,m阶可逆矩阵Q,使得B=PAQ,所以秩B=秩A=m,所以向量组β1,β2,...,βm的秩是m.
反过来,如果向量组β1,β2,...,βm的秩是m,则矩阵B的秩也是m,利用A与B的标准形,存在n阶可逆矩阵P1,P2,m阶可逆矩阵Q1,Q2,使得P1AQ1=P2BQ2=
Em 0
0 0
所以,(P2逆P1)A(Q1Q2逆)=B,所以矩阵A与B等价.
两个向量组等价指的是两个向量组可以相互线性表示.
如果向量组I可以由向量组II线性表示,则向量组I的秩≤向量组II的秩.
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（A）这个是充分条件,不是必要条件.反例：对标准的3维单位向量组e1,e2,e3,向量组e1,e2的秩是2,e1,e2不能由e2,e3线性表示,但是向量组e2,e3的秩也是2.
（B）这个既不是充分条件也不是必要条件.能得到的结论是向量组β1,β2,...,βm的秩≤m,秩未必等于m.反例：向量组e1,e2的秩是2,向量组e1,2e1可以由向量组e1,e2线性表示,但是向量组e1,2e1的秩是1.
（C）这个是充分条件,不是必要条件.等价的向量组等秩,反之不一定成立.比如向量组e1,e2与e2,e3,秩相等,但不等价.
（D）其他几个是错的,这个就应该是正确的了.
两个矩阵等价,指的是一个矩阵经过若干次初等变换可以化成另一个矩阵.
若A与B等价,则存在n阶可逆矩阵P,m阶可逆矩阵Q,使得B=PAQ,所以秩B=秩A=m,所以向量组β1,β2,...,βm的秩是m.
反过来,如果向量组β1,β2,...,βm的秩是m,则矩阵B的秩也是m,利用A与B的标准形,存在n阶可逆矩阵P1,P2,m阶可逆矩阵Q1,Q2,使得P1AQ1=P2BQ2=
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所以,(P2逆P1)A(Q1Q2逆)=B,所以矩阵A与B等价.