来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/24 14:34:50
(2014•宁德模拟)已知函数f(x)=ax
2-blnx在点(1,f(1))处的切线为y=1.
(Ⅰ)求实数a,b的值;
(Ⅱ)是否存在实数m,当x∈(0,1]时,函数g(x)=f(x)-x
2+m(x-1)的最小值为0,若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由;
(Ⅲ)若0<x
1<x
2,求证:
x
(Ⅰ)由f(x)=ax2-blnx,得: f′(x)=2ax− b x,(x>0), ∵函数f(x)=ax2-blnx在点(1,f(1))处的切线为y=1, ∴
f(1)=a=1 f′(1)=2a−b=0,解得a=1,b=2; (II)由(Ⅰ)知,f(x)=x2-2lnx, ∴g(x)=f(x)-x2+m(x-1)=m(x-1)-2lnx,x∈(0,1], ∴g′(x)=m− 2 x= mx−2 x, ①当m≤0时,g′(x)<0, ∴g(x)在(0,1]上单调递减, ∴g(x)min=g(1)=0. ②当0<m≤2时,g′(x)= m(x− 2 m) x≤0, ∴g(x)在(0,1]上单调递减, ∴g(x)min=g(1)=0. ③当m>2时,g′(x)<0在(0, 2 m)上恒成立,g′(x)>0在( 2 m,1]上恒成立, ∴g(x)在(0, 2 m)上单调递减,在( 2 m,1]上单调递增. ∴g( 2 m)<g(1)=0, ∴g(x)min≠0. 综上所述,存在m满足题意,其范围为(-∞,2]; (III)证明:由(II)知,m=1时,g(x)=x-1-2lnx在(0,1)上单调递减, ∴x∈(0,1)时,g(x)>g(1)=0, 即x-1>2lnx. ∵0<x1<x2, ∴0< x1 x2<1, ∴ x1 x2−1>2ln x1 x2, ∴ x1−x2 x2>2(lnx1−lnx2), ∵lnx2>lnx1, ∴
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